《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知圆锥的高为 $ 3 $,底面圆的半径为 $ 4 $,则圆锥的全面积为____$36\pi$。

答案： $36\pi$

2. 一个圆锥的侧面积为 $ 24 \pi $,底面半径为 $ 3 $,这个圆锥的母线长等于8。

答案： 8

3. (2024·惠州期末)综合实践课上,珍珍用半径 $ 9 \mathrm { cm } $,圆心角为 $ 120 ^ { \circ } $ 的扇形纸板,制作了一个圆锥形的生日帽。如图所示,在不考虑接缝的情况下,这个圆锥形生日帽的底面半径是(C)$ \mathrm { cm } $。

A. $ 1.5 $
B. $ 2.5 $
C. $ 3 $
D. $ 6 $

答案： C

4. 如图(单位：$\mathrm { dm }$),一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥,伞骨(面料下方能够把面料撑起来的支架)末端各点所在圆的直径 $ AC $ 长为 $ 12 \mathrm { dm } $,伞骨 $ AB $ 长为 $ 9 \mathrm { dm } $,那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料____$54\pi$$\mathrm { dm } ^ { 2 } $。

答案： $54\pi$

5.如图，把半径为8cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是$4\sqrt{3}$cm(结果保留根号).

答案： $4\sqrt{3}$ 解析：
∵ 半径为$8cm$的半圆围成一个圆锥的侧面，
∴ 侧面展开图的弧长为$8\pi cm$，
∴ 圆锥底面的半径为$\frac{8\pi}{2\pi}=4(cm)$.
∴ 圆锥的高为$\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}(cm)$.

7. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动,如图所示的是一个陀螺的立体结构图。已知底面圆的直径 $ AB = 8 \mathrm { cm } $,圆柱部分的高 $ BC = 6 \mathrm { cm } $,圆锥部分的高 $ CD = 3 \mathrm { cm } $,求出这个陀螺的表面积(结果保留 $ \pi $)。

解：根据题意，得圆柱和圆锥的底面半径为$\frac{8}{2}=$4$(cm)$，
∴ 圆柱的底面积为$\pi×4^{2}=$16π$(cm^{2})$，
圆柱的侧面积为$2\pi×4×6 = $48π$(cm^{2})$，
圆锥的母线长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = $5$(cm)$.
∴ 圆锥的侧面积为$\pi×4×5 = $20π$(cm^{2})$.
∴ 这个陀螺的表面积为$16\pi + 48\pi + 20\pi = $84π$(cm^{2})$.

答案： 解：根据题意，得圆柱和圆锥的底面半径为$\frac{8}{2}=4(cm)$，
∴ 圆柱的底面积为$\pi×4^{2}=16\pi(cm^{2})$，
圆柱的侧面积为$2\pi×4×6 = 48\pi(cm^{2})$，
圆锥的母线长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5(cm)$.
∴ 圆锥的侧面积为$\pi×4×5 = 20\pi(cm^{2})$.
∴ 这个陀螺的表面积为$16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi(cm^{2})$.

8. 如图,$ BC $ 是圆锥底面圆的直径,底面圆的半径为 $ 3 \mathrm { m } $,母线长 $ 6 \mathrm { m } $。若一只小虫从点 $ B $ 沿圆锥的侧面爬行到母线 $ AC $ 的中点 $ P $,则小虫爬行的最短路径长( )

A. $ 3 \mathrm { m } $
B. $ 3 \sqrt { 5 } \mathrm { m } $
C. $ 3 \sqrt { 3 } \mathrm { m } $

答案：
解析：
∵ 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角的度数为$n^{\circ}$，则$\frac{n\pi r}{180}=6\pi$，其中$r = 6m$.
∴ $n = 180$，如图所示；

由题意可知，$AB\perp AP$，且点$P$为$AC$的中点，在$Rt\triangle ABP$中，$AB = 6m$，$AP = 3m$，
∴ $BP=\sqrt{AB^{2}+AP^{2}} = 3\sqrt{5}m$. 故选B.