《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题3】如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ O $ 是内心. 求证：$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}lr $. (其中 $ l $ 是 $ \triangle ABC $ 的周长,$ r $ 是 $ \triangle ABC $ 内切圆的半径)(提示：三角形的内心到三角形的三边距离相等)

答案：
证明:如图，作△ABC的内切圆⊙O，设⊙O与AB相切于点D，与BC相切于点E，与AC相切于点F，连接OD,OE,OF,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,OD=OE=OF=r.
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=$\frac{1}{2}$AB·r+$\frac{1}{2}$BC·r+$\frac{1}{2}$AC·r=$\frac{1}{2}$lr.

【变式3】如图,在 $ \triangle ABC $ 中.
(1) 求作 $ \triangle ABC $ 的内心 $ O $,并作出 $ \triangle ABC $ 的内切圆；
(2) 若 $ \angle ABC = \alpha $,$ \angle ACB = \beta $,求 $ \angle BOC $ 的值.

答案：

(1)如图所示;

(2)
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BOC=180°−$\frac{1}{2}$(α+β).

5. (2024·广州期中)如图,$ \odot O $ 的直径 $ AB = 2\sqrt{3} $,$ AM $,$ BN $ 分别是它的两条切线,$ DE $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ E $,并与 $ AM $,$ BN $ 分别交于 $ D $,$ C $ 两点,$ AD = x $,$ BC = y $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为____.

答案：
y=$\frac{3}{x}$　解析:如图,作DF⊥BN交BC于点F,
∵AM,BN分别是⊙O的两条切线，
∴AB⊥
AM,AB⊥BN,又
∵DF⊥BN,
∴∠BAD=
∠ABF=∠BFD=90°,
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x,DF=AB=2√3.
∵BC=y,
∴FC=BC−BF=y−x,
∵DE与⊙O相切于点E,
∴DE=DA=x,CE=CB=y,则DC=DE+
CE=x+y,在Rt△DFC中,根据勾股定理可得
DC²=FC²+DF²,即(x+y)²=(y−x)²+(2 $\sqrt{3}$)²,整理,得xy=3,即y=$\frac{3}{x}$.