《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
几何语言：
∵ $ l _ { 3 } // l _ { 4 } // l _ { 5 } $,
∴ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d},\frac{b}{a+b}=\frac{d}{c+d}$.

答案： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d},\frac{b}{a+b}=\frac{d}{c+d}$

二、新课学习
相似三角形的判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：
∵ $DE// BC$,∴ $\triangle ADE\backsim\triangle ABC$.

答案： $DE// BC$ $\triangle ADE\backsim\triangle ABC$

【例题1】(人教九下P29教材改编)如图,已知$ l _ { 1 } // l _ { 2 } // l _ { 3 } $,下列比例式中错误的是(D)
A. $ \frac { A C } { C E } = \frac { B D } { D F } $
B. $ \frac { A C } { A E } = \frac { B D } { B F } $
C. $ \frac { C E } { A E } = \frac { D F } { B F } $
D. $ \frac { A E } { B F } = \frac { B D } { A C } $

答案： D

【变式1】如图,$ A D // B E // C F $,直线$ m $,$ n 与这三条平行线分别交于点 A $,$ B $,$ C 和点 D $,$ E $,$ F $,已知$ A B = 5 $,$ B C = 10 $,$ D E = 4 $,则$ E F = $8.

答案： 8

【例题2】在$ \triangle A B C $中,点$ D 是 A B $的中点,点$ E 是 A C $的中点.
(1) 求证：$ \triangle A D E \backsim \triangle A B C $；
(2) $ \triangle A D E 与 \triangle A B C $的相似比为$1:2$.

答案：
(1)证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是$\triangle ABC$的中位线，且$DE// BC$，
∴$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$。
(2)$1:2$

【变式2】如图,在$ □ A B C D $中,点$ E 在 D C $上.
(1) 求证图中一对相似三角形(全等除外)；
(2) 若$ C E : E D = 3 : 1 $,则$ E F : B F = $____3:4.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∴$\triangle ABF\backsim\triangle CEF$。
(2)$3:4$

【例题3】如图,在$ \triangle A B C $中,如果$ D E // B C $,$ A D = 6 $,$ B D = 8 $,$ A E = 4 $,求：
(1) $ E C $$\frac{16}{3}$,$ A C $$\frac{28}{3}$的长度；
(2) $ \frac { D E } { B C } = $$\frac{3}{7}$.

答案： 解：
(1)
∵$DE// BC$，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{6}{8}=\frac{4}{EC}$，解得$EC=\frac{16}{3}$，
∴$AC=AE+EC=4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$。
(2)$\frac{3}{7}$

【变式3】如图,$ A B 与 C D 相交于点 O $,$ A C // B D $,$ \frac { A O } { B O } = \frac { 2 } { 3 } $,$ A C = 9 $.
(1) 求$ B D $的长；13.5
(2) $ \frac { O C } { C D } = $____$\frac{2}{5}$.

答案： 解：
(1)
∵$AC// BD$，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}$，即$\frac{2}{3}=\frac{9}{BD}$，
解得$BD=13.5$。
(2)$\frac{2}{5}$