《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·化州期末)如图,已知 $ \angle 1 = \angle 2 $,那么添加下列的一个条件后,仍无法判定 $ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $ 的是(C)

A. $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} $
B. $ \angle B = \angle D $
C. $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE} $
D. $ \angle C = \angle AED $

答案： C

3. (人教九下 P36 教材改编)如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $。
(1) 求证：$ \triangle ACD \backsim \triangle ABC $；
证明：$\because \angle ACB = 90^{\circ}, CD \perp AB$于点$D$，
$\therefore \angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because \angle CAD = \angle BAC$，
$\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$；
(2) 若 $ AD = 1 $,$ DB = 4 $,求 $ AC $ 的长。
解：$\because \triangle ACD \backsim \triangle ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，即$\frac{AC}{1 + 4} = \frac{1}{AC}$，
$\therefore AC = \sqrt{5}$或$AC = -\sqrt{5}$（舍去）。
故$AC$的长为$\sqrt{5}$。

答案： 证明：
(1) $\because \angle ACB = 90^{\circ}, CD \perp AB$于点$D$，
$\therefore \angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because \angle CAD = \angle BAC$，
$\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$；
(2) 解：$\because \triangle ACD \backsim \triangle ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，即$\frac{AC}{1 + 4} = \frac{1}{AC}$，
$\therefore AC = \sqrt{5}$或$AC = -\sqrt{5}$（舍去）。

4. 如图,四边形 $ ABCD $ 为菱形,点 $ E $ 在 $ AC $ 的延长线上,且 $ \angle ACD = \angle ABE $。
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle AEB $；
(2) 当 $ AB = 3 $,$ AC = 2 $ 时,$ AE $ 的长为______$\frac{9}{2}$。

答案：
(1) 证明：$\because$四边形$ABCD$为菱形，
$\therefore \angle ACB = \angle ACD$。
$\because \angle ACD = \angle ABE$，
$\therefore \angle ACB = \angle ABE$。
又$\because \angle BAC = \angle EAB$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle AEB$。
(2) $\frac{9}{2}$

5. 如图,$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ \angle BAC $ 的平分线分别交 $ \odot O $,$ BC $ 于点 $ D $,$ E $,连接 $ BD $。
(1) 求证：$ \triangle ABD \backsim \triangle AEC $；
证明：(1) $\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \angle DAC$。
$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AB}, \therefore \angle D = \angle C$，
$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle AEC$；
(2) 直接写出图中其他各对相似三角形。
$\triangle AEC \backsim \triangle BED$，$\triangle BED \backsim \triangle ABD$

答案： 证明：
(1) $\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \angle DAC$。
$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AB}, \therefore \angle D = \angle C$，
$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle AEC$；
(2) 解：$\triangle AEC \backsim \triangle BED$，
$\triangle BED \backsim \triangle ABD$。

6. 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点,$ CE \perp AD $,垂足为 $ E $。
(1) 求证：$ \triangle CDE \backsim \triangle ADC $；
(2) 求证：$ \triangle BAD \backsim \triangle EBD $。

答案： 证明：
(1) $\because CE \perp AD, \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CED = \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\because \angle CDE = \angle ADC$，
$\therefore \triangle CDE \backsim \triangle ADC$；
(2) $\because \triangle CDE \backsim \triangle ADC, \therefore \frac{DE}{CD} = \frac{CD}{AD}$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore CD = BD, \therefore \frac{DE}{BD} = \frac{BD}{AD}$，
又$\because \angle EDB = \angle BDA$，
$\therefore \triangle BAD \backsim \triangle EBD$。