《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (综合探究)把两个等腰直角三角形 $ ABC $ 和 $ DEC $ 按图①所示的位置摆放,将 $ \triangle DEC $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ \alpha ( 0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 180 ^ { \circ } ) $ 到图②所示的位置,连接 $ AD $, $ BE $.
【特例问题】

(1)如图①, $ AD $ 与 $ BE $ 的数量关系是____, $ AD $ 与 $ BE $ 的位置关系是____;
【探索解决】
(2)如图②,(1)中 $ AD $ 与 $ BE $ 的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
【拓展应用】
(3)如图③,点 $ D $ 在 $ \triangle ABC $ 内部,若 $ \angle ADC = 135 ^ { \circ } $, $ AD = 1 $, $ CD = 2 $,求线段 $ BD $ 的长.

答案：

(1) $AD = BE$ $AD \perp BE$
解:
(2) $AD$ 与 $BE$ 的数量关系和位置关系仍然成立. 证明如下:
如答图 1, 延长 $AD$ 交 $BE$ 于点 $F$, 交 $BC$ 于点 $G$.

由旋转的性质可知, $ \angle ACD = \angle BCE = \alpha $.
$ \because \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 都是等腰直角三角形,
$ \therefore AC = BC $, $ DC = EC $, $ \angle ACB = 90^{\circ} $,
$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle BCE(SAS) $.
$ \therefore AD = BE $, $ \angle CAD = \angle CBE $.
$ \because \angle AGC = \angle BGF $,
$ \therefore \angle BFG = \angle ACG = 90^{\circ} $, $ \therefore AD \perp BE $.
(3) 如答图 2, 将 $ \triangle ACD $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle BCE $, 连接 $ DE $.

由旋转的性质可知, $ CE = CD = 2 $,
$ BE = AD = 1 $, $ \angle BEC = \angle ADC = 135^{\circ} $,
$ \angle BCE = \angle ACD $,
$ \because \angle DCE = \angle ACB = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle CED = \angle CDE = 45^{\circ} $;
$ \therefore \angle DEB = \angle BEC - \angle CED = 90^{\circ} $.
在 $ Rt \triangle CDE $ 中, 由勾股定理, 得 $ DE^{2} = CD^{2} + CE^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8 $.
在 $ Rt \triangle BDE $ 中, 由勾股定理, 得 $ BD = \sqrt{DE^{2} + BE^{2}} = \sqrt{8 + 1^{2}} = 3 $.
$ \therefore BD $ 的长为 3.