《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
如右图,AB是一个斜坡.
(1) 坡面AB与水平线AC的夹角α叫坡角.
(2) 坡角的正切值叫坡度,记作i.即坡度$i= \tan \alpha =\frac {h}{l}$.

如左图,坡AB的坡度为i,坡角为α；
(1) 当$i= 1:\sqrt {3}$,则α= $30^{\circ}$；
(2) 当$i= \sqrt {3}:1$,则α= $60^{\circ}$；
(3) 当$i= 1:1$,则α= $45^{\circ}$；
(4) 当h= 3,l= 6,则i= $\frac{1}{2}$.

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)$60^{\circ}$
(3)$45^{\circ}$
(4)$\frac{1}{2}$

【例题1】一个斜坡的坡度是$\sqrt {3}:1$,则此斜坡的坡角是(D)
A.$15^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： [例题1]D

【变式1】某堤的横断面如图,堤高BC是5米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡AB的坡度是(C)

A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$

答案： [变式1]C

【例题2】某山路坡面坡度$i= 1:3$,一辆小车沿此山路向上前进了20m,则小车上升的高度是$2\sqrt{10}$m.

答案： [例题2]$2\sqrt{10}$

【变式2】如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是$1:2$,堤高BC= 5m,则坡面AB的长度是$5\sqrt{5}m$.

答案： [变式2]$5\sqrt{5}m$

【例题3】(人教九下P77教材改编)如图,一座水坝的横截面是梯形ABCD,背水坡AB的坡度为$1:1$,迎水坡CD的坡度为$1:\sqrt {3}$,坝顶宽为6m,坝高7m. 求α及β的角度及坝底宽BC的长.

答案：
[例题3]解：$\because \tan \alpha = 1$，$\therefore \alpha = 45^{\circ}$，
$\because \tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \beta = 30^{\circ}$；
如图，分别过点A，D作$AE \perp BC$，$DF \perp BC$，垂足分别为点E，F.

由题意，得$AD = EF = 6m$，$AE = DF = 7m$。
$\because \tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore CF = 7\sqrt{3}m$，
$\because \tan \alpha = 1$，$\therefore BE = AE = 7m$。
$\therefore BC = BE + EF + CF = 7 + 6 + 7\sqrt{3} = (13 + 7\sqrt{3})m$。

【变式3】如图,已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD是3m,坝高12m,背水坡AB的坡度$i= 1:3$,迎水坡CD的坡度为$i= 1:2$. 求坝底BC的长度.

答案：
[变式3]解：如图，分别过点A，D作$AM \perp BC$，$DN \perp BC$，垂足分别为点M，N.

依题意，可得$AM = DN = 12m$，$MN = AD = 3m$。
在$Rt \triangle ABM$中，$\because \frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$，
$\therefore BM = 36m$。
在$Rt \triangle DNC$中，$\frac{DN}{CN} = \frac{1}{2}$，
$\therefore CN = 24m$，
$\therefore BC = BM + MN + CN = 63m$。