《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

7.如图,在矩形ABCD中,$AB = 3$,$AD = 4$,作$DE⊥AC$于点E,作$AF⊥BD$于点F.
(1)求AF,AE的长;AF=$\frac{12}{5}$,AE=$\frac{16}{5}$
(2)若以点A为圆心作圆,B,C,D,E,F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,求$\odot A$的半径r的取值范围.$\frac{12}{5}$＜r＜4

答案： 解:
(1)在矩形ABCD中,AB=CD=3,AD=4,∠BAD=∠ADC=90°,
∴AC=BD=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5.
∵DE⊥AC,AF⊥BD,
∴S_{△ADC}=$\frac{1}{2}$DE·AC=$\frac{1}{2}$CD·AD,S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$AF·BD=$\frac{1}{2}$AB·AD.
∴DE=$\frac{CD·AD}{AC}$=$\frac{12}{5}$,
AF=$\frac{AB·AD}{BD}$=$\frac{12}{5}$.
在Rt△ADE中,AE=$\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}$=$\frac{16}{5}$.
(2)
∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC,
∴若以点A为圆心作圆,B,C,D,E,F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,则点F在圆内,点C,D在圆外,
∴⊙A的半径r的取值范围为$\frac{12}{5}$＜r＜4.