《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

2.小明在刘老师的指导下开展"探究四点共圆的条件"活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.小明继续利用上述结论进行探究.
【提出问题】
如图1,在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B= ∠D,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.

探究展示:
如图2,作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与点A,C重合),连接AE,CE,则∠AEC+∠D= 180°.
又∵∠B= ∠D,
∴____.
∴A,B,C,E四点在同一个圆上.(对角互补的四边形四个顶点共圆)
∴B,D在点A,C,E所确定的⊙O上.
【反思归纳】
(1)上述探究过程中的横线上填的内容是∠AEC + ∠B = 180°;
【拓展延伸】
(2)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ANM,连接BM,BN,连接CM并延长交BN于点D,连接AD.小明发现,在旋转过程中,∠CDB永远等于45°,不会发生改变.请根据∠CDB= 45°,利用四点共圆的思想,试证明:ND= DB.


证明：∵∠ACB = 90°，AC = BC，
∴∠BAC = 45°．
∵∠CDB = 45°，∴∠CDB = ∠BAC = 45°．
∴A，C，B，D 四点共圆．
∴∠ADB + ∠ACB = 180°．
∵∠ACB = 90°，∴∠ADB = 90°．
∴AD⊥BN．
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ANM，
∴AB = AN．
∵AD⊥BN，
∴ND = DB．

答案：
(1) $ \angle A E C + \angle B = 180 ^ { \circ } $
(2) 证明：$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ A C = B C $，
$ \therefore \angle B A C = 45 ^ { \circ } $．
$ \because \angle C D B = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle C D B = \angle B A C = 45 ^ { \circ } $．
$ \therefore A $，$ C $，$ B $，$ D $ 四点共圆．
$ \therefore \angle A D B + \angle A C B = 180 ^ { \circ } $．
$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A D B = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore A D \perp B N $．
$ \because $ 将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转得到 $ \triangle A N M $，
$ \therefore A B = A N $．
$ \because A D \perp B N $，
$ \therefore N D = D B $．