《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】(人教九上P20教材改编)如图,在一幅长为8分米,宽为6分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂画,使整个挂画的面积是80平方分米,求金色纸边的宽度.

解:设金色纸边的宽为x分米.
依题意,得(8 + 2x)(6 + 2x) = 80,
化简、整理,得x² + 7x - 8 = 0,
因式分解,得(x + 8)(x - 1) = 0,
解得x₁ = 1,x₂ = -8(不合题意,舍去).
答:金色纸边的宽为1分米.

答案： 解:设金色纸边的宽为 $ x $ 分米.
依题意,得 $ (8 + 2x)(6 + 2x) = 80 $,
化简、整理,得 $ x^{2} + 7x - 8 = 0 $,
因式分解,得 $ (x + 8)(x - 1) = 0 $,
解得 $ x_{1} = 1 $, $ x_{2} = -8 $ (不合题意,舍去).
答:金色纸边的宽为 1 分米.

【变式1】如图,从一块长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下部分四周的宽度相等,且小长方形的面积是原来长方形面积的一半,求剩下部分四周的宽度.

解:设剩下部分四周的宽度为 xcm.
依题意,得
$ S_{长方形} = 60×80= 4800(cm^{2}) $,
$ S_{小长方形} = \frac{1}{2}S_{长方形} = 2400(cm^{2}) $,
$ \therefore (60 - 2x)(80 - 2x) = 2400 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 60 $ (不合题意,舍去).
答:剩下部分四周的宽度为 10cm.

答案： 解:设剩下部分四周的宽度为 $ x $ cm.
依题意,得
$ S_{长方形} = 60 × 80 = 4800(cm^{2}) $,
$ S_{小长方形} = \frac{1}{2}S_{长方形} = 2400(cm^{2}) $,
$ \therefore (60 - 2x)(80 - 2x) = 2400 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 60 $ (不合题意,舍去).
答:剩下部分四周的宽度为 10 cm.

【例题2】如图,有一块长10m,宽8m的矩形试验地,要开辟3条等宽小路,要使种植面积为$36m^2,$求小路的宽.

解:设小路的宽为 xm.
依题意,得 (10 - 2x)(8 - x) = 36,
解得 x₁ = 2, x₂ = 11(不合题意,舍去),
∴x = 2.
答:小路的宽为 2m.

答案： 解:设小路的宽为 $ x $ m.
依题意,得 $ (10 - 2x)(8 - x) = 36 $,
解得 $ x_{1} = 2 $, $ x_{2} = 11 $ (不合题意,舍去),
$ \therefore x = 2 $.
答:小路的宽为 2 m.

【变式2】如图,有一块长50米,宽25米的矩形空地,现要在空地内开辟两横三纵共五条等宽人行通道,且通道面积为249平方米.设人行通道的宽为x米,则下列方程正确的是(D)

A.$2 × 50x + 3x(25 - x) = 249$
B.$3 × 25x + 2x(50 - 2x) = 249$
C.$(50 - 2x)(25 - 3x) = 50 × 25 - 249$
D.$(50 - 3x)(25 - 2x) = 50 × 25 - 249$

答案： D

【例题3】(人教九上P25教材改编)某兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由长度为30m的篱笆围成.如图,墙长为20m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃园的面积为$108m^2,$求x的值.
答：若苗圃园的面积为$108m^2$，x的值为6或9.
(2)苗圃园的面积能达到$120m^2$吗？若能,求出x的值；若不能,说明理由.
答：苗圃园的面积不能达到$120m^2$，因为方程$x^2 - 15x + 60 = 0$的判别式$\Delta = -15 ＜ 0$，此方程无解.

答案： 解:
(1)由题意可知:
$ (30 - 2x)x = 108 $,
解得 $ x = 6 $ 或 $ x = 9 $,
由于 $ 0 ＜ 30 - 2x \leq 20 $,
解得 $ 5 \leq x ＜ 15 $, $ \therefore x = 6 $ 或 $ x = 9 $.
答:若苗圃园的面积为 $ 108m^{2} $, $ x $ 的值为 6 或 9.
(2)由题意可知: $ (30 - 2x)x = 120 $,
$ \therefore x^{2} - 15x + 60 = 0 $,
$ \therefore \Delta = 15^{2} - 4 × 60 = -15 ＜ 0 $,
此方程无解.
答:苗圃园的面积不能达到 $ 120m^{2} $.

【变式3】如图,用21m长的篱笆围成一个面积为$18m^2$的“日字型”养鸡场,求养鸡场的宽.

解:设鸡场的边 $ AB $ 的长为 $ x $ m.
根据题意,可得 $ x\left(\frac{21 - 3x}{2}\right) = 18 $,
整理,得 $ 3x^{2} - 21x + 36 = 0 $,
因式分解,得 $ (x - 3)(x - 4) = 0 $,
解得 $ x_{1} = 4 $, $ x_{2} = 3 $.
分别代入 $ \frac{21 - 3x}{2} $ 中,都符合 $ AB ＜ AD $,
$ \therefore $ 鸡场的宽为 4 m或3 m.
答:鸡场的宽为 4 m或3 m.

答案： 解:设鸡场的边 $ AB $ 的长为 $ x $ m.
根据题意,可得 $ x\left(\frac{21 - 3x}{2}\right) = 18 $,
整理,得 $ 3x^{2} - 21x + 36 = 0 $,
因式分解,得 $ (x - 3)(x - 4) = 0 $,
解得 $ x_{1} = 4 $, $ x_{2} = 3 $.
分别代入 $ \frac{21 - 3x}{2} $ 中,都符合 $ AB ＜ AD $,
$ \therefore $ 鸡场的宽为 4 m 或 3 m.
答:鸡场的宽为 4 m 或 3 m.