《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

2. (创新题) 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,CD是AB边上的高,BE平分$∠ABC$,BE分别与AC,CD相交于点E,F. 求证：
(1) $△AEB\backsim △CFB$；
(2) $\frac {AE}{CE}= \frac {AB}{CB}$.

答案： 证明：
(1)
∵ $ \angle ACB = 90^\circ $，
∴ $ \angle ACD + \angle BCD = 90^\circ $。
∵ $ CD $ 为 $ AB $ 边上的高，
∴ $ \angle ADC = 90^\circ $。
∴ $ \angle A + \angle ACD = 90^\circ $，
∴ $ \angle A = \angle BCD $。
∵ $ BE $ 平分 $ \angle ABC $，
∴ $ \angle ABE = \angle CBE $。
∴ $ \triangle AEB \backsim \triangle CFB $。
(2)
∵ $ \angle ABE = \angle CBE $，$ \angle A = \angle BCD $，
∴ $ \angle CFE = \angle BCD + \angle CBE = \angle A + \angle ABE $，
∴ $ \angle CEF = \angle A + \angle ABE $，
∴ $ \angle CEF = \angle CFE $，
∴ $ CE = CF $，
∵ $ \triangle AEB \backsim \triangle CFB $，
∴ $ \frac{AE}{CF} = \frac{AB}{CB} $，
∴ $ \frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CB} $。