《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ AC = BC $,$ AD = BD $. 求证：$ AB $ 是 $ \odot O $ 的切线.

证明:∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB。
又∵CD是⊙O的直径，OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

答案： 证明:
∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB。
又
∵CD是⊙O的直径，OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

2. (人教九上 P102 教材改编)如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ D $ 为 $ \odot O $ 上一点,$ AT $ 平分 $ \angle BAD $ 交 $ \odot O $ 于点 $ T $,过点 $ T $ 作 $ AD $ 的垂线交 $ AD $ 的延长线于点 $ C $. 求证：$ TC $ 为 $ \odot O $ 的切线.

答案：
证明:如图，连接OT。

∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA。
又
∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT；
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT//AC。
又
∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT；
∵OT为⊙O的半径，
∴TC为⊙O的切线。

3. 如图,在以点 $ O $ 为圆心,$ R $,$ r ( R ＞ r ) $ 为半径的两个同心圆中,大圆的弦 $ AB $ 与弦 $ CD $ 相等,且 $ AB $ 与小圆相切.
(1)求证：$ CD $ 也与小圆相切；
(2)若 $ AB = 8 \text{ cm} $,则所围成的圆环面积为______.

答案：

(1)证明:如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F。
∵AB，CD是大圆的弦，且AB=CD，
∴OE=OF= $\sqrt{R^{2}-\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}}$
∵AB与小圆相切，
∴OE=OF=r，
∴CD也与小圆相切。
(2)16π 解析:如图，连接OA。由
(1)知 $\sqrt{R^{2}-\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}}$ =r，
∴ $\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}$ =R² - r²，
∴S环=S大圆 - S小=πR² - πr²=π· $\left(\frac{AB}{2}\right)^{2}$ =16π。

4. (核心素养)如图,$ OA $ 和 $ OB $ 是 $ \odot O $ 的半径,且 $ OA \perp OB $,$ P $ 是 $ OA $ 上任意一点,连接 $ BP $ 并延长,交 $ \odot O $ 于点 $ Q $,过点 $ Q $ 的直线交 $ OA $ 的延长线于点 $ R $,且 $ RP = RQ $. 求证：$ QR $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案：
证明:如图，连接OQ。
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO。
∵RP=RQ，
∴∠RPQ=∠PQR。
∵∠BPO=∠RPQ，
∴∠BPO=∠PQR。
∵OA⊥OB，
∴∠BOP=90°，
∴∠B+∠BPO=90°，
∴∠BQO+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴OQ⊥QR。
又
∵OQ是⊙O的半径，
∴QR是⊙O的切线。

5. (2024·中山一模)如图,$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径,点 $ D $ 是 $ \odot O $ 上一点,连接 $ CD $、$ AD $,过点 $ B $ 作 $ BE \perp AD $,交 $ DA $ 的延长线于点 $ E $,$ AB $ 平分 $ \angle CAE $.
(1)求证：$ BE $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)若 $ \angle ACB = 30^\circ $,$ \odot O $ 的半径为 6,求 $ BE $ 的长.

答案：

(1)证明:如图，连接BO。

∵BE⊥AD，
∴∠E=90°
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA。
∵AB平分∠CAE，
∴∠OAB=∠BAE，
∴∠OBA=∠BAE，
∴OB//AE，
∴∠EBO=180°−∠E=90°，即BE⊥OB，
又
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线。
(2)解:
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°。
又
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠OBA=60°。OA=OB=AB=6。
∴∠ABE=30°，
∴AE= $\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理，得BE= $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$ =3 $\sqrt{3}$。