《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知某二次函数的图象的顶点为$(-2,2)$,可设该二次函数的解析式为$ y = a(x + 2)^2 + 2 $. 若抛物线经过点$(-1,3)$,则该二次函数的解析式为$ y = (x + 2)^2 + 2 $.

答案： 1. $ y = a(x + 2)^2 + 2 $ $ y = (x + 2)^2 + 2 $

2. 已知抛物线与$x轴交于M(1,0)$,$N(-3,0)$两点,则可设这条抛物线的解析式为$ y = a(x - 1)(x + 3) $,如果此抛物线经过点$(0,3)$,那么此抛物线的解析式为$ y = -1(x - 1)(x + 3) $.

答案：
2. $ y = a(x - 1)(x + 3) $ $ y = -1(x - 1)(x + 3) $

【例题1】已知抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$,且过点$(2,-3)$,求抛物线的解析式.

答案： 【例题 1】解：设抛物线解析式为 $ y = a(x - 1)^2 - 4 $，把点 $ (2, -3) $ 代入，得 $ a - 4 = -3 $，解得 $ a = 1 $，
∴ 抛物线解析式为 $ y = (x - 1)^2 - 4 $。

【变式1】已知某二次函数的图象如图所示,求该二次函数的解析式.

解：由图象可知，顶点 A 的坐标为 (2, -4)，点 B 的坐标为 (0, 4)。
设抛物线的解析式为 y = a(x - 2)² - 4，
将点 B(0, 4) 代入上式，得 a·(0 - 2)² - 4= 4。
解得 a = 2，
∴ 抛物线的解析式为 y = 2(x - 2)² - 4。

答案： 【变式 1】解：由图象可知，顶点 $ A $ 的坐标为 $ (2, -4) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 4) $。
设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 - 4 $，
将点 $ B(0, 4) $ 代入上式，得 $ a \cdot (0 - 2)^2 - 4 = 4 $。
解得 $ a = 2 $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = 2(x - 2)^2 - 4 $。

【例题2】已知抛物线经过三点$A(-1,0)$,$B(4,0)$,$C(0,-2)$,求抛物线的解析式与顶点$D$的坐标.

答案： 【例题 2】解：
∵ 抛物线经过点 $ A(-1, 0) $，$ B(4, 0) $，
∴ 设函数的解析式为 $ y = a(x + 1)(x - 4) $。
又
∵ 抛物线经过点 $ C(0, -2) $，
∴ $ -2 = a(0 + 1)(0 - 4) $，解得 $ a = \frac{1}{2} $，
∴ 经过 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的抛物线的解析式为 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)(x - 4) $，即 $ y = \frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{8} $，
∴ 顶点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{3}{2}, -\frac{25}{8}) $。

【变式2】已知二次函数的图象如图所示,用交点式求这个二次函数的解析式.

解：由图可知抛物线与 x 轴交于点 (1, 0)，(2, 0)，与 y 轴交于点 (0, 2)，
设二次函数 y = a(x - 1)(x - 2)，把点 (0, 2) 代入，得 2 = a·(-1)·(-2)，解得 a = 1，
故二次函数的解析式为 y = (x - 1)(x - 2) = x² - 3x + 2。

答案： 【变式 2】解：由图可知抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ (1, 0) $，$ (2, 0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 2) $，
设二次函数 $ y = a(x - 1)(x - 2) $，把点 $ (0, 2) $ 代入，得 $ 2 = a \cdot (-1) \cdot (-2) $，解得 $ a = 1 $，
故二次函数的解析式为 $ y = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 $。

易错点 选择恰当的方法求抛物线解析式
根据图中条件求抛物线的解析式. 可选用的方法是(D)

A.一般式
B.顶点式
C.交点式
D.以上方法都行

答案： D