《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题3】(人教九下P75)如图,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高？

解:由图知$\alpha =$30°,$\beta =$60°,$AD=$120m.
$\because\tan\alpha=\frac{BD}{AD}$,则$BD = AD\cdot\tan$30°$=$$40\sqrt{3}$$(m)$.
$\because\tan\beta=\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{120}=$$\sqrt{3}$,
$\therefore CD =$$120\sqrt{3}$$(m)$,
$\therefore BC = BD + CD =$$160\sqrt{3}$$(m)$.

答案： 解:由图知$\alpha = 30^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$,$AD = 120m$.
$\because\tan\alpha=\frac{BD}{AD}$,则$BD = AD\cdot\tan 30^{\circ}=40\sqrt{3}(m)$.
$\because\tan\beta=\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{120}=\sqrt{3}$,
$\therefore CD = 120\sqrt{3}(m)$,
$\therefore BC = BD + CD = 160\sqrt{3}(m)$.

【变式3】如图,一枚运载火箭从点O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离是1.65km。求发射地O距雷达站C的距离。(参考数据：$\sin 34^{\circ} \approx 0.56$,$\cos 34^{\circ} \approx 0.83$,$\tan 34^{\circ} \approx 0.67$)

答案： 解:由题意可得$∠AOC = 90^{\circ}$,$AB = 1.65km$.
在$Rt\triangle AOC$中,
$\because\tan 34^{\circ}=\frac{OA}{OC}$,$∠BCO = 45^{\circ}$,
$\therefore OB = CO$.
$\therefore 0.67\approx\frac{CO - 1.65}{CO}$,
$\therefore CO = 5(km)$.
答:发射地$O$距雷达站$C$的距离为$5km$.

1.(2025·龙岗开学)如图,某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC=36°，自动扶梯的长度AB=15米.则该自动扶梯的高度BC等于（A）

A. 15$\sin 36^{\circ}$米
B. $\dfrac{15}{\sin 36^{\circ}}$米
C. 15$\tan 36^{\circ}$米
D. $\dfrac{15}{\tan 36^{\circ}}$米

答案： A

2. 如图,在离铁塔200米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪高AD为1.5米,则铁塔的高BC为(C)

A.(1.5+200$\sin \alpha$)米
B.(1.5+200$\cos \alpha$)米
C.(1.5+200$\tan \alpha$)米
D.(1.5+$\dfrac{200}{\tan \alpha}$)米

答案： 2.C

3. (人教九下P81教材改编)如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG= 30°,在E处测得∠AFG= 60°,CE= 8米,仪器高度CD= 1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留一位小数,$\sqrt{3} \approx 1.732$)。

解:依题意,得四边形$DCEF$,$DCBG$为矩形,
$\therefore GB = EF = CD = 1.5$米,$DF = CE = 8$米.
设$AG = x$米,$GF = y$米.
在$Rt\triangle AFG$中,$\tan∠AFG=\tan 60^{\circ}=\frac{AG}{FG}=\frac{x}{y}=$$\sqrt{3}$.
在$Rt\triangle ADG$中,$\tan∠ADG=\tan 30^{\circ}=\frac{x}{y + 8}=$$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore x =$$4\sqrt{3}$,$y =$4,
$\therefore AG = 4\sqrt{3}$米,$FG = 4$米,
$\therefore AB = AG + GB = 4\sqrt{3} + 1.5\approx$8.4(米),
$\therefore$这棵树$AB$的高度为8.4米.

答案： 解:依题意,得四边形$DCEF$,$DCBG$为矩形,
$\therefore GB = EF = CD = 1.5$米,$DF = CE = 8$米.
设$AG = x$米,$GF = y$米.
在$Rt\triangle AFG$中,$\tan∠AFG=\tan 60^{\circ}=\frac{AG}{FG}=\frac{x}{y}=\sqrt{3}$.
在$Rt\triangle ADG$中,$\tan∠ADG=\tan 30^{\circ}=\frac{x}{y + 8}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore x = 4\sqrt{3}$,$y = 4$,
$\therefore AG = 4\sqrt{3}$米,$FG = 4$米,
$\therefore AB = AG + GB = 4\sqrt{3} + 1.5\approx8.4$(米),
$\therefore$这棵树$AB$的高度为$8.4$米.

4. 无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测大楼的高度BC,无人机在空中点A处,已知点A与地面相距80米,测得C点的俯角为14°,控制无人机水平移动至点D,测得AD= 21米,楼顶C点的俯角为31°,(点A,B,C,D在同一平面内),求大楼的高度BC。($\tan 14^{\circ} \approx 0.25$,$\tan 31^{\circ} \approx 0.6$)

答案：
解:如图,延长$BC$交$AD$于点$E$,

根据题意,得$BE = 80$米,$∠CAE = 14^{\circ}$,$∠CDE = 31^{\circ}$,$∠AEC = 90^{\circ}$,
在$Rt\triangle ACE$中,$CE = AE\cdot\tan∠CAE=(21 + DE)\cdot\tan 14^{\circ}\approx0.25×(21 + DE)$,
在$Rt\triangle CDE$中,$CE = DE\cdot\tan∠CDE = DE\cdot\tan 31^{\circ}\approx0.6DE$,
$\therefore 0.25×(21 + DE)=0.6DE$,
解得$DE = 15$,
$\therefore CE\approx0.6×15 = 9$(米),
$\therefore BC = BE - CE = 80 - 9 = 71$(米),
答:大楼的高度$BC$为$71$米.