《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A.
B. 三角形的内切圆及内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.

答案： 两　轴对称　直线OP　两　相等　平分　PB ∠OPB　相切　内心　角平分线　三边

[例题1]如图所示,PA,PB是O0的切线,A,B为切点,且∠APB = 40°,下列说法不正确的是（D）
A. $ PA = PB $
B. $ \angle APO = 20^\circ $
C. $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $
D. $ \angle AOP = 60^\circ $

答案： D

【变式1】如图,从 $ \odot O $ 外一点 $ P $ 引 $ \odot O $ 的两条切线 $ PA $,$ PB $,切点分别是 $ A $,$ B $,若 $ PA = 5 \text{ cm} $,$ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 上的一个动点(点 $ C $ 与 $ A $,$ B $ 两点不重合),过点 $ C $ 作 $ \odot O $ 的切线,分别交 $ PA $,$ PB $ 于点 $ D $,$ E $,则 $ \triangle PED $ 的周长是10cm.

答案： 10cm　解析:
∵PA,PB,DE是⊙O的切线，切点分别是A,B,C,
∴AP=BP,DA=DC,
CE=BE
∴△PED的周长为PD+DE+PE=PD+
DC+CE+PE=PD+DA+PE+BE=PA+PB=2PA=
10cm.

【例题2】如图,$ \odot O $ 与 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 的三条边相切,切点是 $ D $,$ E $,$ F $,$ \angle C = 90^\circ $. 若 $ AC = 8 \text{ cm} $,$ BC = 6 \text{ cm} $.
(1) 证明：四边形 $ ODCE $ 是正方形；
证明:OE⊥AC,OD⊥BC,
∠C=90°,
∴四边形ODCE是矩形.
∵OD=OE,
∴四边形ODCE为正方形;
(2) 求 $ \odot O $ 的半径 $ r $.
解:由(1)易得CE=OE=r,由切线长定理,可得AF=AE=AC−r,BF=BD=BC−r.
∵AF+BF=AB,
∴AC−r+BC−r=AB,即r=$\frac{AC+BC−AB}{2}$
∵AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=√AC²+BC²=√8²+6²=10cm
∴r=$\frac{8+6−10}{2}$=2cm.

答案：
(1)证明:OE⊥AC,OD⊥BC,
∠C=90°,
∴四边形ODCE是矩形.
∵OD=OE,
∴四边形ODCE为正方形;
(2)解:由
(1)易得CE=OE=r,由切线长定理,可得AF=AE=AC−r,BF=BD=BC−r.
∵AF+BF=AB,
∴AC−r+BC−r=AB,即r=$\frac{AC+BC−AB}{2}$
∵AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=√AC²+BC²=√8²+6²=10cm
∴r=$\frac{8+6−10}{2}$=2cm.

【变式2】(人教九上 P100 教材改编)如图,$ \triangle ABC $ 的内切圆 $ \odot O $ 与 $ BC $,$ CA $,$ AB $ 分别相切于点 $ D $,$ E $,$ F $,且 $ AB = 4 $,$ BC = 5 $,$ CA = 7 $,求 $ BF $ 的长.

解:∵△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,∴AF=AE,BF=BD,CD=CE.设AF=AE=x,则BD=BF=AB−AF=4−x,CD=CE=7−x.由题意，得BD+CD=BC,即BF+CD=BC,∴(4−x)+(7−x)=5,解得x=3,∴BF=4−3=1.

答案： 解:
∵△ABC的内切圆⊙O与BC,
CA,AB分别相切于点D,E,F,
∴AF=AE,BF=BD,CD=CE.
设AF=AE=x,则BD=BF=AB−AF=4−x,
CD=CE=7−x.
由题意，得BD+CD=BC,即BF+CD=BC,
∴(4−x)+(7−x)=5,解得x=3,
∴BF=4−3=1.

1. 如图,$ PA $,$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线,点 $ A $,$ B $ 是切点,连接 $ OA $,$ OB $,已知 $ \angle APB = 70^\circ $,$ PA = 3 $,则 $ PB = $3,$ \angle AOB = $110°.

答案： 3　110°

2. (人教九上 P102 教材改编)如图,直线 $ AB $,$ BC $,$ CD $ 分别与 $ \odot O $ 相切于点 $ E $,$ F $,$ G $,且 $ AB // CD $,若 $ OB = 6 \text{ cm} $,$ OC = 8 \text{ cm} $,则 $ BE + CG $ 的长等于(D)

A.$ 13 \text{ cm} $
B.$ 12 \text{ cm} $
C.$ 11 \text{ cm} $
D.$ 10 \text{ cm} $

答案： D

3. (2024·广州期末)如图,$ PA $,$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线,切点分别是点 $ A $,$ B $,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的直径. 若 $ \angle P = 60^\circ $,$ PA = 3 $,则 $ BC $ 的长为(A)

A.$ \sqrt{3} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ 1 $

答案： A

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^\circ $,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的内切圆,切点分别是点 $ D $,$ E $,$ F $.
(1) 连接 $ OA $,$ OB $,则 $ \angle AOB = $____135°；
(2) 若 $ BD = 6 $,$ AD = 4 $,则 $ \odot O $ 的半径 $ r = $____2.

答案：
(1)135°　解析:
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O为△ACB的内心，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB.
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠OBA+∠OAB=$\frac{1}{2}$×90°=45°,
∴∠AOB=
180°−45°=135°.
(2)2　解析:连接EO,FO.
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F.
∴OE⊥BC,OF⊥
AC,BD=BE,AD=AF,EC=CF.又
∵∠C=
90°,
∴四边形OECF是矩形.又
∵EO=FO,
∴矩形OECF是正方形.设EO=r,则EC=CF=r.在Rt △ABC中,AB²=BC²+AC²,故(r+6)²+(r+4)²=
10²,解得r=2(负值已舍去).即⊙O的半径r 为2