《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题4】抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示,则一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是(C)

A.$x = -2$
B.$x = 3$
C.$x_{1}= -2$,$x_{2}= 3$
D.无法确认

答案： C

【变式3】二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象如图所示,由图象可知关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根是(A)

A.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 5$
B.$x_{1}= -2$,$x_{2}= 4$
C.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 2$
D.$x_{1}= -5$,$x_{2}= 5$

答案： A

1. 若抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$,$(2,0)$,则关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解为$ x_{1} = -1 $，$ x_{2} = 2 $.

答案： 1. $ x_{1} = -1 $，$ x_{2} = 2 $ 

2. 二次函数$y = 2x^{2}-5x + 3$的图象与x轴的交点有(B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 2.B

3. 若抛物线$y = x^{2}-2ax + a^{2}-2a + 3$(a为常数)与x轴有两个交点,则此抛物线的顶点位于(D)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： 3.D 解析：
∵ 抛物线 $ y = x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a + 3 $（$ a $ 为常数）与 $ x $ 轴有两个交点，
∴ $ \Delta = 4a^{2} - 4(a^{2} - 2a + 3) ＞ 0 $。
∴ $ a ＞ \frac{3}{2} $。
∴ $ -2a + 3 ＜ 0 $。
∵ $ y = x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a + 3 = (x - a)^{2} - 2a + 3 $，
∴ 抛物线的顶点坐标是 $ (a, -2a + 3) $。
∴ 此抛物线的顶点位于第四象限。故选 D。

4. (核心素养练)已知抛物线$y = x^{2}-mx - 6m^{2}$.
(1) 求证：无论m取何值,抛物线与x轴总有交点；
证明：$ \Delta = b^{2} - 4ac = (-m)^{2} - 4 × 1 × (-6m^{2}) = 25m^{2} $，
∵ $ m^{2} \geq 0 $，∴ $ \Delta \geq 0 $，∴ 抛物线与 $ x $ 轴总有交点；
(2) 当$m = 2$时,求抛物线与坐标轴的交点坐标.
解：当 $ m = 2 $ 时，抛物线的解析式为 $ y = x^{2} - 2x - 24 $，即 $ y = (x + 4)(x - 6) $，令 $ y = 0 $，解得 $ x_{1} = -4 $，$ x_{2} = 6 $；令 $ x = 0 $，解得 $ y = -24 $。∴ 抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-4, 0) $，$ (6, 0) $，与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, -24) $。

答案： 4.
(1) 证明：$ \Delta = b^{2} - 4ac = (-m)^{2} - 4 × 1 × (-6m^{2}) = 25m^{2} $，
∵ $ m^{2} \geq 0 $，
∴ $ \Delta \geq 0 $，
∴ 抛物线与 $ x $ 轴总有交点；
(2) 解：当 $ m = 2 $ 时，抛物线的解析式为 $ y = x^{2} - 2x - 24 $，即 $ y = (x + 4)(x - 6) $，令 $ y = 0 $，解得 $ x_{1} = -4 $，$ x_{2} = 6 $；令 $ x = 0 $，解得 $ y = -24 $。
∴ 抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-4, 0) $，$ (6, 0) $，与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, -24) $。

5. 我们定义一种新函数：形如$y = |ax^{2}+bx + c|(a\neq0,b^{2}-4ac＞0)$的函数叫做“鹊桥”函数. 数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数$y = |x^{2}+bx + c|$的图象如图所示,则下列结论正确的是( )


A.$bc＜0$
B.当$x = 1$时,函数的最大值是4
C.当直线$y = x + m$与该图象恰有三个公共点时,则$m = 1$
D.关于x的方程$|x^{2}+bx + c| = 3$的所有实数根的和为4

答案：
5.D 解析：
∵ $ (-1, 0) $，$ (3, 0) $ 是函数图象和 $ x $ 轴的交点，
∴ $ \begin{cases} 1 - b + c = 0 \\ 9 + 3b + c = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} b = -2 \\ c = -3 \end{cases} $，
∴ $ BC = (-2) × (-3) = 6 ＞ 0 $，故选项 A 错误；由图象可得，函数没有最大值，故选项 B 错误；如图，当直线 $ y = x + m $ 与该图象恰有三个公共点时，应该有 2 条直线，

故选项 C 错误；
关于 $ x $ 的方程 $ |x^{2} + bx + c| = 3 $，即 $ x^{2} - 2x - 3 = 3 $ 或 $ x^{2} - 2x - 3 = -3 $，
当 $ x^{2} - 2x - 3 = 3 $ 时，$ x_{1} + x_{2} = -\frac{-2}{1} = 2 $，
当 $ x^{2} - 2x - 3 = -3 $ 时，$ x_{1} + x_{2} = -\frac{-2}{1} = 2 $，
∴ 关于 $ x $ 的方程 $ |x^{2} + bx + c| = 3 $ 的所有实数根的和为 $ 2 + 2 = 4 $，故选项 D 正确。