《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (2025·广州一模)在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^\circ $,$ AB = 2 $,$ AC = 3 $,则 $ \angle A $ 的正弦值为(A)
A.$ \frac{\sqrt{5}}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{3\sqrt{13}}{13} $

答案： A

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $,垂足为 $ D $。若 $ BC = 14 $,$ AD = 12 $,$ \tan \angle BAD = \frac{3}{4} $,求 $ \sin C $ 的值。

解:在Rt△ABD中,AD = 12,
tan∠BAD = $\frac{3}{4}$,
∴BD = AD·tan∠BAD = 12×$\frac{3}{4}$ = 9.
∴CD = BC - BD = 14 - 9 = 5.
在Rt△ADC中,∠ADC = 90°,AD = 12,CD = 5,
∴AC = $\sqrt{AD^{2} + CD^{2}}$ = $\sqrt{12^{2} + 5^{2}}$ = 13,
∴sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{12}{13}$

答案： 解:在Rt△ABD中,AD = 12,
tan∠BAD = $\frac{3}{4}$,
∴BD = AD·tan∠BAD = 12×$\frac{3}{4}$ = 9.
∴CD = BC - BD = 14 - 9 = 5.
在Rt△ADC中,∠ADC = 90°,AD = 12,CD = 5,
∴AC = $\sqrt{AD^{2} + CD^{2}}$ = $\sqrt{12^{2} + 5^{2}}$ = 13,
∴sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{12}{13}$

3. 如图,点 $ P $ 是锐角 $ \angle BAC $ 的边 $ AB $ 上任意一点,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp AC $ 于点 $ Q $。若 $ \frac{AP}{PQ} = \frac{\sqrt{5}}{2} $,则 $ \tan A = (B) $

A.$ \frac{1}{2} $
B.2
C.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $

答案： B

4. 在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图所示放置,直角顶点与原点 $ O $ 重合,顶点 $ A $,$ B $ 恰好分别落在函数 $ y = -\frac{1}{x} (x ＜ 0) $,$ y = \frac{4}{x} (x ＞ 0) $ 的图象上,则 $ \sin \angle ABO $ 的值为(D)

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
C.$ \frac{\sqrt{5}}{4} $
D.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $

答案： D

5. 如图所示,已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ BC $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ B $,连接 $ AC $,$ OC $。若 $ \sin \angle BAC = \frac{1}{3} $,则 $ \tan \angle BOC = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6. 如图所示,$ \odot O $ 是正方形 $ ABCD $ 的内切圆,切点分别为点 $ E $,$ F $,$ G $,$ H $,$ ED $ 与 $ \odot O $ 相交于点 $ M $,则 $ \sin \angle MFG $ 的值为______$\frac{\sqrt{5}}{5}$。

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

7. 如图所示,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,$ BC = 3 $,$ AC = 4 $,则 $ \sin \angle ACD $ 的值为(B)

A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{5}{3} $

答案： B

8. 如图所示,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,点 $ P $ 在 $ BA $ 的延长线上,$ PC $,$ PD $ 与 $ \odot O $ 相切,切点分别为 $ C $,$ D $,若 $ AB = 4 $,$ PC = 4 $,则 $ \sin \angle CBD $ 等于(C)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $

答案： C

15.如图所示,AB是O的直径,弦AD,BC相交于点P.如果CD=6,AB=8,那么cos∠APC=$\frac 34$

答案： $\frac 34$