《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

[例题1]如图：

(1)OB=__2__
(2)AC=__3__
(3)$S_{△OAB}$= __3__.

答案： 233

[变式1]如图,抛物线y= ax+bx-3与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;y=$\frac{3}{8}$x²−$\frac{3}{4}$x−3
(2)点N是抛物线上异于点C的动点,若△NAB的面积与△ABC的面积相等,求出点N的坐标.(2,−3)或(1+$\sqrt{17}$,3)或(1−$\sqrt{17}$,3)

答案： 解:
(1)
∵将A(−2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax²+bx−3,
可得$\begin{cases}4a - 2b - 3 = 0,\\16a + 4b - 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \dfrac{3}{8},\\b = -\dfrac{3}{4},\end{cases}$
∴y=$\frac{3}{8}$x²−$\frac{3}{4}$x−3.
(2)
∵抛物线y=$\frac{3}{8}$x²−$\frac{3}{4}$x−3与y轴交于点C,
∴点C(0,−3),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$×6×3=9.
∵点N是抛物线上异于点C的动点，设点N (m,$\frac{3}{8}$m²−$\frac{3}{4}$m−3),S△ABC=S△NAB,
∴$\frac{1}{2}$×6×|$\frac{3}{8}$m²−$\frac{3}{4}$m−3|=9,解得m=0 (舍去)或m=2或m=1+$\sqrt{17}$或m=1−$\sqrt{17}$
∴点P的坐标为(2,−3)或(1+$\sqrt{17}$,3)或(1−$\sqrt{17}$,3).

[例题2]如图,在x轴上,存在点P,使△PAB是等腰三角形,求点P坐标.

解:设存在符合条件的点P,其坐标为(p,0),则
PA²=p²+3²,PB²=(p−4)²,AB²=4²+3²=25.
当PA=PB时,p²+3²=(p−4)²,解得p=$\frac{7}{8}$;当PA=AB时,p²+3²=25,解得p=4(舍去),p=−4;
当PB=AB时,(p−4)²=25,解得p=−1,p=9.
∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(−4,0),(−1,0),($\frac{7}{8}$,0)或(9,0).

答案： 解:设存在符合条件的点P,其坐标为(p,0),则
PA²=p²+3²,PB²=(p−4)²,AB²=4²+3²=25.
当PA=PB时,p²+3²=(p−4)²,解得p=$\frac{7}{8}$;当PA=AB时,p²+3²=25,解得p=4(舍去),p=−4;
当PB=AB时,(p−4)²=25,解得p=−1,p=9.
∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(−4,0),(−1,0),($\frac{7}{8}$,0)或(9,0).

[变式2]如图,抛物线的顶点是B(2,-1),过点A(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在对称轴上找出点P,使△PAB为等腰三角形,直接写出点P的坐标:
(2,0),(2,1),(2,−1+$\sqrt{2}$)或(2,−1−$\sqrt{2}$).

答案： 解:
(1)
∵抛物线的顶点B的坐标为(2,−1),
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2)²−1(a≠0),
把点A(3,0)代入到y=a(x−2)²−1(a≠0)中,得0=a(3−2)²−1,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x−2)²−1=x²−4x+3.
(2)(2,0),(2,1),(2,−1+$\sqrt{2}$)或(2,−1−$\sqrt{2}$)　解析:
∵抛物线y=(x−2)²−1的对称轴为直线x=2,
∴点P的坐标为(2,m).又
∵A,B的坐标分别为A(3,0),B(2,−1)，
∴AP²=m²+1,BP²=(m + 1)²,AB²=1²+1²=2.
∵△ABP是等腰三角形，所以分三种情况:①当AP=BP时,AP²=BP²,即m²+1=m²+2m + 1,解得m=0;此时,点P的坐标为(2,0);②当AP=AB时,AP²=AB²,即m²+1=2,解得m₁=1,m₂=−1.当m=−1 时，点P的坐标为(2,−1),此时点P,B重合，△PAB不存在，故点P的坐标为(2,1);③当BP=AB时,BP²=AB²,即m²+2m + 1 = 2,解得m₁=−1+$\sqrt{2}$,m₂=−1−$\sqrt{2}$,此时，点P的坐标为(2,−1+$\sqrt{2}$)或(2,−1−$\sqrt{2}$).综上所述，点P的坐标为(2,0)，(2,1)，(2,−1+$\sqrt{2}$)或(2,−1−$\sqrt{2}$).

[例题3]如图,点P在直线l上,作出点P(1,)使AP.A+PB最小

答案：
解:
(1)如图所示.

(2)如图所示.

[变式3]如图,抛物线$y= x^2+bx+c$过点B(1,0),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;$y=x^2 - 4x + 3$
(2)点P是对称轴上一点,当PA+PB达到最小值时,
求点P的坐标.(2,1)

答案： 解:
(1)由题可知抛物线经过点B (1,0)和C(3,0),
∴$\begin{cases}1 + b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = - 4,\\c = 3,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y = x²−4x + 3;
(2)连接AC,交抛物线对称轴于点P,连接BP,此时PA+PB最小.
由
(1)可得点A的坐标为(0,3),设直线AC 的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过点A(0,3),C(3,0)，
∴$\begin{cases}b = 3,\\3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 1,\\b = 3,\end{cases}$
∴直线AC的解析式为y=−x+3
∵点P的横坐标为2,当x=2时,y=−2+3=1,
∴点P的坐标为(2,1).

[例题4]填空:（1）已知点A（-2,0），B（1，0），则AB=3
（2）已知点A（0,3），B（0，-1），则AB=__4__
（3）已知点A（1,x²+3x+4），B（1,x+4），点A在点B上方，则AB=x²+2x.（用含x的代数式表示）

答案：
(1)3　
(2)4　
(3)x²+2x

[变式4]如图,直线y= -x+3与抛物线$y= -x^2+2x+3$交于点A(0,3),B(3,0).
(1)F是线段AB上的点,EF⊥x轴,点E在抛物线上,若点F的横坐标为m,请用含m的代数式表示EF的长;−m²+3m
(2)求EF的最大值.$\frac{9}{4}$

答案： 解:
(1)
∵EF⊥x轴,
∴E、F两点的横坐标相同.
∵点F的横坐标为m，点E在抛物线y=−x²+2x+3上,F在直线y=−x+3上,则点E的坐标为(m,−m²+2m+3),点F的坐标为(m,−m+3),
∴EF=−m²+3m;
(2)
∵EF=−m²+3m=−(m−$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$,
∴m=$\frac{3}{2}$时,EF的最大值为$\frac{9}{4}$.

[例题5]如图,存在点P,使得以点P,0,A,B为顶点的四边形是平行四边形,则点P的坐标为(2,−2),(−2,2)或(4,2).

答案： (2,−2),(−2,2)或(4,2)

[变式5]抛物线$y= -x^2+2x+3$如图所示.已知点C的坐标为(0,3).已知点P在抛物线上,点M在x轴上,以点O,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形,求点P坐标.

点P的坐标为(2,3),(1+$\sqrt{7}$,-3),(1−$\sqrt{7}$,-3).

答案： 解:设点M坐标为(a,0)，点P坐标为(a,−a²+2a+3),
∵点O,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形，
∴分两种情况:
①若点P在x轴上方,MP=−a²+2a+3,
当CO=MP时,即−a²+2a+3=3,
解得a₁=2,a₂=0,当a₂=0时,点P的坐标为(0,3),此时点P与点C重合，四边形不存在，
∴点P的坐标为(2,3);
②若点P在x轴下方,MP=a²−2a−3,
当CO=MP时,即a²−2a−3=3,
解得a₁=1+$\sqrt{7}$,a₂=1−$\sqrt{7}$,此时，点P的坐标为(1+$\sqrt{7}$,-3),(1−$\sqrt{7}$,-3).
综上所述，点P的坐标为(2,3),(1+$\sqrt{7}$,-3),(1−$\sqrt{7}$,-3).