《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

二、新课学习
已知二次函数$y = -(x - 5)^{2}+50$,则当$x = $5时,$y_{最大值}= $50。

答案： 5 50

【例题1】(人教九上P57教材改编)如图,要用总长20m的铁栏杆,一面靠墙(墙长为12m)围成一个矩形花圃ABCD,设$AB = xm$,矩形ABCD的面积为$ym^{2}$。
(1) 求y与x之间的函数解析式,并求自变量x的取值范围；
y=−2x²+20x(4≤x＜10)
(2) 当x为何值时,花圃的面积最大,最大面积是多少？
当x=5时,花圃的面积最大,最大面积为50m².

答案： 解:
(1)
∵CD=AB=xm,则AD=BC=(20−2x)m,
∴y=x(20−2x),即y=−2x²+20x
又
∵$\begin{cases} 20 - 2x \leq 12 \\ 20 - 2x ＞ 0 \end{cases}$，解得 $ 4 \leq x ＜ 10 $，
∴y=−2x²+20x(4≤x＜10);
(2)
∵y=−2x²+20x=−2(x−5)²+50,且−2＜0,
∴当x=5时,y有最大值,最大值为50,即当x=5时,花圃的面积最大,最大面积为50m².

【变式1】如图,工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形。(厚度不计)
(1) 若长方体底面面积为$12dm^{2}$,则裁掉的正方形的边长是2dm？
(2) 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,求制作的长方体容器的底面面积的最小值为5$dm^{2}$；
(3) 在(2)的条件下,由于实际需要,将容器内侧和内底面进行防锈处理,侧面每平方分米需要的费用为0.5元,底面每平方分米需要的费用为2元,当裁掉的正方形边长为2.5分米时,总费用最低,最低为25元？

答案： 解:
(1)设裁掉的正方形边长为x dm,由题意得,(10−2x)(6−2x)=12,即x²−8x+12=0,
解得x₁=2,x₂=6(舍去).
答：裁掉的正方形的边长为2 dm；
(2)由题意得,10−2x≤5(6−2x),
解得0＜x≤2.5,
设长方体容器的底面面积为Sdm²,
∴S=(10−2x)(6−2x)=4x²−32x+60=4(x−4)²−4,
∴当x=2.5时，长方体容器的底面面积有最小值,S最小=4×(2.5−4)²−4=5,即制作的长方体容器的底面面积的最小值为5dm²;
(3)设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16−4x)+2(10−2x)(6−2x)=4x²−48x+120=4(x−6)²−24,
∵图象的对称轴为直线x=6,开口向上，
∴当0＜x≤2.5时,w随x增大而减小，
∴当x=2.5时,w最小为25,
∴当裁掉正方形的边长为2.5dm时，总费用最低，为25元.

易错点 实际问题的最值不一定在顶点处
举例：例题1中“墙长12m”改为“墙长8m”,则花圃的最大面积为48$m^{2}$。

答案： 48