《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点 $ O $ 转动一个角度,叫做图形的旋转,点 $ O $ 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
B. 旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等。(即对应边相等,对应角相等)。

答案： 旋转中心 旋转方向 旋转角度 相等 全等 相等 相等

易错点 旋转角的概念
如图,$\triangle ABC$ 绕点 $ O $ 旋转得到 $\triangle A'B'C'$,则：
(1) 旋转角是 $\angle$AOA'$=\angle$BOB'$=\angle$COC'。
(2) 若连接 $ A'A $,则 $\triangle OA'A$ 是等腰三角形。当 $\alpha =$60时,$\triangle OA'A$ 是等边三角形。

答案：
(1)$AOA'$ $BOB'$ $COC'$
(2)等腰 60

【例题1】(人教九上 P59 教材改编)下列事件中,不属于旋转运动的是(B)
A.钟表的指针在不停地转动
B.电梯从 1 楼上到 29 楼
C.风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动
D.吊扇正常运转时叶片的转动

答案： B

【变式1】如图,将 $\text{Rt}\triangle ABC$(其中 $\angle B = 35^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$)旋转到 $\text{Rt}\triangle AB_{1}C_{1}$ 的位置,使得点 $ C $,$ A $,$ B_{1} $ 在同一直线上,则旋转中心是点A,旋转方向是顺时针,旋转角是125$^{\circ}$。

答案： A 顺时针 125

【例题2】如图,点 $ E $ 是正方形 $ ABCD $ 中边 $ BC $ 上的一点,把 $\triangle DCE$ 顺时针旋转至与 $\triangle DAF$ 重合。
(1) 旋转中心是哪一点？点D
(2) 连接 $ EF $,则 $\triangle DEF$ 是哪种特殊三角形？为什么？$\triangle DEF$是等腰直角三角形.理由如下:由旋转的性质可知$DE=DF$.又$\because ∠EDF=∠CDA=90^{\circ },\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形.

答案： 解:
(1)点D;
(2)$△DEF$是等腰直角三角形.理由如下:
由旋转的性质可知$DE=DF$.
又$\because ∠EDF=∠CDA=90^{\circ },$
$\therefore △DEF$是等腰直角三角形.

【变式2】如图,在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle DCE$ 是 $\triangle ABC$ 绕着点 $ C $ 顺时针旋转得到的,此时点 $ B $,$ C $,$ E $ 在同一直线上。
(1) 求旋转角的大小；$90^{\circ }$
(2) 若 $ AB = 10 $,$ AC = 8 $,求 $ BE $ 的长。14

答案： 解:
(1)$\because △DCE$是$△ABC$绕着点C顺时针方向旋转得到的,此时点B,C,E在同一直线上,
$\therefore ∠ACE=90^{\circ }$.即旋转角为$90^{\circ };$
(2)在$Rt△ABC$中,$\because AB=10,AC=8$,则
$BC=\sqrt {AB^{2}-AC^{2}}=6$.
$\because △ABC$绕着点C旋转得到$△EDC$,
$\therefore CE=CA=8$,
$\therefore BE=BC+CE=6+8=14$.

1. 有下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人,其中属于旋转的是____①②。

答案： ①②

2.如图，在AABC中，∠BAC=90°，将∠ABC绕着点A旋转至△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上,AB=2,∠B=60°,则 BD=2

答案： 2

3. 如图所示,$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,$ BC $ 是斜边,$ P $ 为 $\triangle ABC$ 内一点,将 $\triangle ABP$ 绕点 $ A $ 顺时针旋转后与 $\triangle ACP_{1}$ 重合。如果 $ AP = 5 $,那么线段 $ PP_{1} $ 的长为$5\sqrt {2}$。

答案： $5\sqrt {2}$