《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $ 图象上部分点的坐标 $ ( x, y ) $ 满足下表:
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ 2 $ | $ - 1 $ | $ - 6 $ | …$ $ |
求该二次函数的解析式.

答案： 解：把点$(0,-1)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$c = - 1$，把点$(-1,2)$，$(1,-6)$分别代入$y = ax^{2}+bx - 1$中，得$\begin{cases}a - b - 1 = 2,\\a + b - 1 = - 6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = - 1,\\b = - 4,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y = - x^{2}-4x - 1$。

2. 已知二次函数的图象如图所示, 求这个二次函数的解析式.
解：$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx + c$过点$(0,2)$，
$\therefore c =$2，
设这个二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx +$2。
$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx + 2$过点$(1,0)$，$(2,0)$，
得$\begin{cases}a + b + 2 = 0,\\4a + 2b + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a =$1,\\b =$-3,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y =$$x^{2}-3x + 2$。

答案： 解：$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx + c$过点$(0,2)$，
$\therefore c = 2$，
设这个二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + 2$。
$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx + 2$过点$(1,0)$，$(2,0)$，
得$\begin{cases}a + b + 2 = 0,\\4a + 2b + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 3,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y = x^{2}-3x + 2$。

3. 如图, 抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx - 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, 与 $ x $ 轴交于点 $ A $, $ B $, $ OB = OC = 3 OA $, 则该抛物线的解析式是$y = x^{2}-2x - 3$.

答案： $y = x^{2}-2x - 3$解析：当$x = 0$时，$y = - 3$。$\therefore C(0,-3)$，$\therefore OC = 3$。$\therefore OB = 3$，$OA = 1$。$\therefore B(3,0)$，$A(-1,0)$。将$B(3,0)$，$A(-1,0)$代入$y = ax^{2}+bx - 3$，得$\begin{cases}0 = 9a + 3b - 3,\\0 = a - b - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 2,\end{cases}$$\therefore$该抛物线的解析式是$y = x^{2}-2x - 3$。

4. 求经过 $ A ( 1, 4 ) $, $ B ( - 2, 1 ) $ 两点, 对称轴为 $ x = - 1 $ 的抛物线的解析式.

答案： 解：设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$，
根据题意，得$\begin{cases}a + b + c = 4,\\4a - 2b + c = 1,\\-\frac{b}{2a}=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2,\\c = 1,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}+2x + 1$。

5. (核心素养)如图, 抛物线 $ y = x ^ { 2 } + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 1, 0 ) $, $ B ( 3, 0 ) $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标;解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，顶点坐标为$(1,-4)$
(2)若点 $ E $ 是抛物线的对称轴与直线 $ BC $ 的交点, 点 $ F $ 是抛物线的顶点, 求 $ EF $ 的长;2
(3)抛物线上是否存在点 $ P $, 使得 $ S _ { \triangle PAB } = 10 $? 如果存在, 请直接写出点 $ P $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.存在，点$P$的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$

答案： 解：
(1)把点$A(-1,0)$，$B(3,0)$分别代入$y = x^{2}+bx + c$中，得$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = - 2,\\c = - 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，即$y=(x - 1)^{2}-4$，
$\therefore$顶点坐标为$(1,-4)$；
(2)由
(1)得抛物线解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-3)$，
设直线$BC$的解析式为$y = mx + n(m\neq0)$，将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3m + n = 0,\\n = - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = - 3,\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = x - 3$，
当$x = 1$时，$y = 1 - 3 = - 2$，即点$E$的坐标为$(1,-2)$，
$\therefore EF=\vert - 2-(-4)\vert = 2$。
(3)存在。$\because A(-1,0)$，$B(3,0)$，
$\therefore AB = 4$。
设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot\vert y\vert = 2\vert y\vert = 10$，
$\therefore\vert y\vert = 5$，$\therefore y=\pm5$，
①当$y = 5$时，$x^{2}-2x - 3 = 5$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$，此时点$P$坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$；
②当$y = - 5$时，$x^{2}-2x - 3 = - 5$，方程无解。
综上所述，点$P$坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$。