《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
探究：圆锥侧面展开图是扇形。
① $ h ^ { 2 } + r ^ { 2 } = R ^ { 2 } $,
② $ C _ { \text { 底 } } = 2 \pi r = l $,
③ $ S _ { \text { 侧 } } = \frac { 1 } { 2 } l R = \pi r R $,
④ $ S _ { \text { 全 } } = S _ { \text { 侧 } } + S _ { \text { 底 } } = $$\pi r(r+R)$。
(其中 $ R $ 是圆锥母线,也是展开图的半径)

已知圆锥的底面半径为 $ 1 $,母线长为 $ 2 $,则：
(1)圆锥的高为$\sqrt{3}$；底面周长为$2\pi$；
(2)若侧面展开图扇形的圆心角为 $ n ^ { \circ } $,则弧长可用含 $ n $ 的式子表示为$\frac{n\pi}{90}$,
∵ 底面周长 $ = $ 侧面展开图扇形的弧长,
∴$2\pi$$=$$\frac{n\pi}{90}$。
可得该扇形的圆心角度数为$180^{\circ}$。

答案： $\pi r(r+R)$ $\sqrt{3}$ $2\pi$ $\frac{n\pi}{90}$ $2\pi$ $\frac{n\pi}{90}$ $180^{\circ}$

【例题1】(人教九上 P114 教材改编)如图,一个圆锥的底面半径为 $ 3 \mathrm { cm } $,母线长为 $ 5 \mathrm { cm } $。求这个圆锥的侧面积和全面积。

解：这个圆锥的侧面积为$15\pi\ \text{cm}^2$，全面积为$24\pi\ \text{cm}^2$。

答案： 解：$S_{侧}=\frac{1}{2}lR$.
∵ 侧面展开图的弧长$l$为底面圆的周长，
∴ $l = 2×\pi×3 = 6\pi(cm)$.
∴ $S_{侧}=\frac{1}{2}×6\pi×5 = 15\pi(cm^{2})$.
又
∵ $S_{底}=\pi×3^{2} = 9\pi(cm^{2})$，
∴ $S_{全}=9\pi + 15\pi = 24\pi(cm^{2})$.

【变式1】如图,已知圆锥的高为 $ 8 \mathrm { cm } $,底面圆的直径为 $ 12 \mathrm { cm } $,求此圆锥的侧面积。

解：∵ 底面圆的直径$d = 12cm$，
∴ 底面圆的半径为6$cm$.
∴ 底面圆周长为$2×6\pi = $12π$(cm)$，
由勾股定理得母线长为$\sqrt{6^{2}+8^{2}} = $10$(cm)$，
∴ $S_{侧}=\frac{1}{2}×12\pi×10 = $60π$(cm^{2})$.

答案： 解：
∵ 底面圆的直径$d = 12cm$，
∴ 底面圆的半径为$6cm$.
∴ 底面圆周长为$2×6\pi = 12\pi(cm)$，
由勾股定理得母线长为$\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10(cm)$，
∴ $S_{侧}=\frac{1}{2}×12\pi×10 = 60\pi(cm^{2})$.

【例题2】已知圆锥的底面直径为 $ 60 \mathrm { cm } $,母线长为 $ 90 \mathrm { cm } $,其侧面展开图的圆心角为(B)
A. $ 160 ^ { \circ } $
B. $ 120 ^ { \circ } $
C. $ 100 ^ { \circ } $
D. $ 80 ^ { \circ } $

答案： B

【变式2】若圆锥的底面半径是 $ 2 $,母线长为 $ 3 $,则这个圆锥的侧面积是____6π。

答案： $6\pi$

【例题3】(人教九上 P124 教材改编)锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是一个圆柱(相关数据如图所示,单位：$\mathrm { mm } $),浮筒的表面积有多少平方米？

解：由图形可知，圆锥的底面圆的半径为0.4$m$，高为0.3$m$，
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{0.3^{2}+0.4^{2}} = $0.5$(m)$.
∴ 圆锥的侧面积$S_{1}=\pi×0.4×0.5 = $0.2π$(m^{2})$.
∵ 圆柱的高为0.8$m$，
∴ 圆柱的侧面积$S_{2}=2\pi×0.4×0.8 = $0.64π$(m^{2})$.
∴ 浮筒的表面积为$2S_{1}+S_{2}=$1.04π$(m^{2})$.

答案： 解：由图形可知，圆锥的底面圆的半径为$0.4m$，高为$0.3m$，
∴ 圆锥的母线长为$\sqrt{0.3^{2}+0.4^{2}} = 0.5(m)$.
∴ 圆锥的侧面积$S_{1}=\pi×0.4×0.5 = 0.2\pi(m^{2})$.
∵ 圆柱的高为$0.8m$，
∴ 圆柱的侧面积$S_{2}=2\pi×0.4×0.8 = 0.64\pi(m^{2})$.
∴ 浮筒的表面积为$2S_{1}+S_{2}=1.04\pi(m^{2})$.

【变式3】(人教九上 P114 教材改编)一个蒙古包由圆锥和圆柱组成,其尺寸如图所示(单位：$\mathrm { m }$),则该蒙古包(含底圆)的全面积(即表面积)为____$68\pi$$\mathrm { m } ^ { 2 }$(结果保留 $\pi$)。

答案： $68\pi$

6. 圆锥的母线长是 $ 3 $,底面半径是 $ 1 $,则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为(B)
A. $ 90 ^ { \circ } $
C. $ 150 ^ { \circ } $
D. $ 180 ^ { \circ } $

答案： B