《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】如图,旗杆顶部Q、标杆顶部D、观测者的眼睛B在同一直线上,测得观测者的脚到旗杆底部的距离AP= 75m,观测者的脚到标杆底部的距离AC= 2.5m,若AB= 1.5m,标杆CD的高为2m,求旗杆PQ的高.

答案：
解：过点B作BE⊥PQ交于点E，交CD于点F，如图所示。

∴四边形ABEP，四边形ABFC，四边形CFEP是矩形，
∴CF=PE=AB=1.5m，BF=AC=2.5m，BE=AP=75m。
∵CD=2m。
∴DF=CD−CF=0.5m。
又
∵CD//PQ，
∴△BDF∽△BQE，
∴$\frac{DF}{QE}=\frac{BF}{BE}$，即$\frac{0.5}{QE}=\frac{2.5}{75}$，
解得QE=15，
∴PQ=QE+PE=16.5m。
答：旗杆PQ的高度为16.5m。

【变式1】如图,利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD= 3m,标杆与旗杆的水平距离BD= 12m,人的眼睛与地面的高度EF= 1.6m,人与标杆CD的水平距离DF= 2m,求旗杆AB的高度.

解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD//AB，
∴△ECN∽△EAH，
∴$\frac{CN}{AH}=\frac{EN}{EH}$。
∵EN=DF=2m，HN=BD=12m，CN=CD−DN=1.4m，
∴$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{2+12}$，解得AH=9.8，
∴AB=AH+BH=11.4m。
答：旗杆AB的高度为11.4m。

答案： 解：
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD//AB，
∴△ECN∽△EAH，
∴$\frac{CN}{AH}=\frac{EN}{EH}$。
∵EN=DF=2m，HN=BD=12m，CN=CD−DN=1.4m，
∴$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{2+12}$，解得AH=9.8，
∴AB=AH+BH=11.4m。
答：旗杆AB的高度为11.4m。

【例题2】如图,小明家的窗口面对大楼,相距AB= 80m,窗高CD= 1.2m,小明从窗口后退2m,眼睛从点O处恰好能看到楼顶M和楼底N,求大楼的高度为49.2m.

答案： 解：根据题意得，AB=80m，CD=1.2m，OA=2m。
∵CD//MN，
∴△OCD∽△OMN，
∴$\frac{CD}{MN}=\frac{OA}{OB}$，即$\frac{1.2}{MN}=\frac{2}{2+80}$，
解得MN=49.2。
答：大楼的高度为49.2m。

【变式2】（人教九下P58教材改编）一块三角形余料ABC,它的边 BC = 120 mm,高 AD=80mm，如图.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.求加工成的正方形零件的边长为48mm。

答案： 【变式2】解：设正方形的边长为xmm.
∵四边形PNMQ是正方形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC，△APE∽△ABD，
∴\(\frac{PN}{BC}=\frac{AP}{AB}\)，\(\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AD}\)，
∴\(\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}\)，即\(\frac{x}{120}=\frac{80−x}{80}\)， 解得x=48， 答：加工成的正方形的零件边长为48mm.