《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·广州期中)关于$x的一元二次方程x^{2}+bx-1= 0$根的情况是(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 1.B

2. 已知$a$,$b$,$c$为常数,点$P(a,c)$在第二象限,则关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0$的根的情况为______有两个不相等的实数根.

答案： 2.有两个不相等的实数根 解析：$\because$ 点$P(a,c)$在第二象限，$\therefore a＜0,c＞0,\therefore ac＜0,-4ac＞0.\because b^{2}\geqslant0,\therefore \Delta =b^{2}-4ac＞0,\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.

3. 关于$x的一元二次方程(k-1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则$k$取值范围是(C)
A.$k\geqslant-2$
B.$k＞2$
C.$k＜2且k≠1$
D.$k＞2且k≠1$

答案： 3.C

4. 若关于$x的方程x^{2}+mx+n= 0$有两个相等的实数根,则方程$x^{2}+mx+n= -2$的根的情况是(C)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 4.C

5. 证明：关于$x的一元二次方程x^{2}+\sqrt{5}mx+m^{2}+m-1= 0$总有实数根.

答案： 5.证明：$\because a=1,b=\sqrt{5}m,c=m^{2}+m-1,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(\sqrt{5}m)^{2}-4(m^{2}+m-1)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2},$
$\because (m-2)^{2}\geqslant0,$
$\therefore \Delta \geqslant0,$
$\therefore$ 原方程总有实数根.

6. (人教九上P17教材改编)求证：关于$x的一元二次方程(x-2)(x-3)= p^{2}$总有两个不相等的实数根.

答案： 6.证明：原方程去括号、移项、整理，得$x^{2}-5x+6-p^{2}=0,$
$\therefore \Delta =(-5)^{2}-4×(6-p^{2})=25-24+4p^{2}=1+4p^{2},$
$\because 1+4p^{2}＞0,$
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.

7. 已知关于$x的方程b(x^{2}-1)+2ax+c(x^{2}+1)= 0$,其中$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$三边的长.
(1) 若$x= -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状；等腰三角形
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 7.解：
(1)$\because x=-1$是一元二次方程$b(x^{2}-1)+2ax+c(x^{2}+1)=0$的根，
$\therefore -2a+2c=0,$
$\therefore a=c,$
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形；