《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 下列各式中,$y是x$的二次函数的是(C)
A.$y \geq (x - 1)^{2}$
B.$y = x^{2} + (3 - x)x$
C.$y = (x - 1)^{2}$
D.$y = ax^{2} + bx + c$

答案： C

2. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是$50$万件,计划九月份和十月份增加产量,如果产量的月平均增长率为$x$,那么十月份医用防护服的产量$y$(万件)与$x$之间的函数解析式为$y=50(1+x)^{2}$.

答案： $y=50(1+x)^{2}$

3. 求下列函数自变量的取值范围.
(1) $y = \frac{x}{x + 3}$:$x≠-3$;
(2) $y = \sqrt{2x + 1}$:$x≥-\frac {1}{2}$;
(3) $y = \frac{1}{\sqrt{x + 5}}$:$x＞-5$;
(4) $y = -x^{2} + 2x + 1$:任意实数;
(5) $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$:$x≥2$且$x≠3$.

答案：
(1)$x≠-3$
(2)$x≥-\frac {1}{2}$
(3)$x＞-5$
(4)任意实数
(5)$x≥2$且$x≠3$

4. 已知一个二次函数$y = (k - 1)x^{k^{2} - 3k + 4} + 2x - 1$.
(1) 求$k$的值;2
(2) 当$x = \frac{1}{2}$时,求$y$的值.$\frac{1}{4}$

答案： 解:
(1)由题意,得$k^{2}-3k+4=2$,则$k^{2}-3k+2=0,(k-1)(k-2)=0$,解得$k_{1}=1,k_{2}=2$,$\because k-1≠0,k≠1$,$\therefore k=2$;
(2)把$k=2$代入$y=(k-1)x^{k^{2}-3k+4}+2x-1$,得$y=x^{2}+2x-1$,当$x=\frac {1}{2}$时,$y=(\frac {1}{2})^{2}+2×\frac {1}{2}-1=\frac {1}{4}$。

5. 如图,用一段长为$40\ \text{m}$的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD,墙长为$18\ \text{m}$,设$AD$的长为$x\ \text{m}$,菜园$ABCD$的面积为$y\ \text{m}^{2}$,则$y$关于自变量$x$的函数解析式是$y=-2x^{2}+40x$,自变量$x$的取值范围是$11≤x＜20$. 若菜园$ABCD$的面积为$150\ \text{m}^{2}$,则$AD$的长为$15\ \text{m}$.

答案： $y=-2x^{2}+40x$ $11≤x＜20$ 15m 解析:根据题意得,AD边的长为x m,则AB边的长为$(40-2x)m,\therefore y=x(40-2x)$,即y与x之间的函数解析式为$y=-2x^{2}+40x;\because 0＜40-2x≤18,\therefore 11≤x＜20$。当$y=150$时,则$-2x^{2}+40x=150$,整理,得$x^{2}-20x+75=0$,解得$x_{1}=15,x_{2}=5$(不合题意,舍去)

6. (核心素养)若函数$y = \begin{cases} x^{2} + 2,x \leq 2, \\ 2x,x ＞ 2, \end{cases} 则当函数值y = 8$时,自变量$x$的值是(D)
A.$\pm \sqrt{6}$
B.$4$
C.$\pm \sqrt{6}或4$
D.$4或-\sqrt{6}$

答案： D 解析:当$y=8$时,若$x≤2$,则$8=x^{2}+2,x=\pm \sqrt {6},\sqrt {6}＞2$,故$x=-\sqrt {6}$;若$x＞2$,则$8=2x,x=4$。综上，$x=-\sqrt {6}$或$x=4$。故选D。