《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教九上 P40 教材改编)已知二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $ 的图象经过点 $ ( - 1, - 5 ) $, $ ( 0, - 4 ) $ 和 $ ( 1, 1 ) $, 求这个二次函数的解析式.

答案： 解：将点$(-1,-5)$，$(0,-4)$和$(1,1)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$中，得
$\begin{cases}a - b + c = - 5,\\c = - 4,\\a + b + c = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 3,\\c = - 4,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y = 2x^{2}+3x - 4$。

【例题 1】已知抛物线 $ y = ax ^ { 2 } $ 的图象经过点 $ A ( 1, - 4 ) $, 求该抛物线的解析式.

答案： 解：$\because$抛物线经过点$A(1,-4)$，
$\therefore - 4 = a\cdot1^{2}$，解得$a = - 4$，
$\therefore$该抛物线的解析式为$y = - 4x^{2}$。

【变式 1】已知抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx + 2 $ 经过点 $ ( - 2, 6 ) $, $ ( 2, 2 ) $, 求其表达式.

答案： 解：将点$(-2,6)$，$(2,2)$分别代入$y = ax^{2}+bx + 2$中，得
$\begin{cases}4a - 2b + 2 = 6,\\4a + 2b + 2 = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b = - 1,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x + 2$。

【例题 2】已知二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $ 的图象经过 $ A ( 2, 0 ) $, $ B ( 0, - 1 ) $, $ C ( 4, 5 ) $ 三点, 求二次函数的解析式.

答案： 解：根据题意，得
$\begin{cases}4a + 2b + c = 0,\\16a + 4b + c = 5,\\c = - 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-\frac{1}{2},\\c = - 1,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 1$。

【变式 2】如图, 抛物线经过 $ ( - 1, 0 ) $, $ ( 3, 0 ) $, $ ( 0, - 3 ) $ 三点, 求该抛物线的解析式.

解：设抛物线为$y = ax^{2}+bx + c$。
根据题意，得$\begin{cases}a - b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\\c = - 3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 2,\\c = - 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = $$x^{2}-2x - 3$。

答案： 解：设抛物线为$y = ax^{2}+bx + c$。
根据题意，得$\begin{cases}a - b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\\c = - 3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 2,\\c = - 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。