《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程.

答案： 一 2

2. 一元二次方程的一般形式：$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，其中$ax^{2}$，$bx$，$c$分别叫做二次项、一次项、常数项，$a$，$b$，$c$分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.

答案： 二次项系数 一次项系数 常数项

3. 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.

答案： 解 根

1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是 （C）
A. $x^{2}-2y-1=0$
B. $3x^{3}+2x^{2}-1=0$
C. $(a^{2}+1)x^{2}+2x+1=0$
D. $ax^{2}-bx+c=0$

答案： C

2. 关于$x$的方程$ax^{2}-4x+5=0$是一元二次方程，则$a$满足的条件是 （B）
A. $a＞0$
B. $a≠0$
C. $a=1$
D. $a≥0$

答案： B

3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+kx-3=0$有一个根为1，则$k$的值为2.

答案： 2

4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）$x^{2}+1=2x$；一般形式为$x^{2}-2x+1=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为1；
（2）$-2=3x^{2}$；一般形式为$3x^{2}+2=0$，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为2；
（3）$x(2x-1)=x$；一般形式为$2x^{2}-2x=0$，二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为0；
（4）$(x+1)(x-1)=2x-4$；一般形式为$x^{2}-2x+3=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为3.

答案： 解:
(1) 移项, 得一般形式 $ x^{2}-2x+1=0 $, 二次项系数为 1, 一次项系数为 -2, 常数项为 1;
(2) 移项, 得一般形式 $ 3x^{2}+2=0 $, 二次项系数为 3, 一次项系数为 0, 常数项为 2;
(3) 去括号, 得 $ 2x^{2}-x=x $, 移项, 得一般形式 $ 2x^{2}-2x=0 $, 二次项系数为 2, 一次项系数为 -2, 常数项为 0;
(4) 去括号, 得 $ x^{2}-1=2x-4 $, 移项、合并同类项, 得一般形式 $ x^{2}-2x+3=0 $, 二次项系数为 1, 一次项系数为 -2, 常数项为 3.

5. 根据下列问题列方程，并化为一般形式（不必求解）.
（1）一个矩形门框的宽比长少1，面积是5，求矩形的宽$x$；
（2）两个正方形面积为2，求这个正方形边长$y$；
（3）一个直角三角形的面积为8，两条直角边相差2，求较短的直角边长$x$.

答案： 解:
(1) 依题意, 得 $ x(x+1)=5 $, 化为一元二次方程的一般形式, 得 $ x^{2}+x-5=0 $;
(2) 依题意, 得 $ 2y^{2}=2 $, 化为一元二次方程的一般形式, 得 $ 2y^{2}-2=0 $;
(3) 依题意, 得 $ \frac{1}{2}x(x+2)=8 $, 化为一元二次方程的一般形式, 得 $ \frac{1}{2}x^{2}+x-8=0 $.