《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1]（人教九下P48教材改编)如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位似中心，相似比为$\frac 12$，把线段AB缩小.观察图形并填空：

（1)点A(6，4)的对应点分别为A'(3,2)，A"(-3,-2)；
（2)点B(6,0)的对应点分别为B'(3,0)，B"(-3,0)；
（3)若点P为AB的中点，则其对应点分别为P'(3,1)，P"(-3,-1).

答案：
(1)$(3,2)$ $(-3,-2)$
(2)$(3,0)$ $(-3,0)$
(3)$(3,1)$ $(-3,-1)$ 

【变式 1】如图, 在平面直角坐标系中, 以原点 $ O $ 为位似中心, 把 $ \triangle OAB $ 放大 2 倍得到 $ \triangle OA_1B_1 $, $ \triangle OA_2B_2 $. 观察图形并填空:
(1) 点 $ A(2,1) $ 的对应点分别为 $ A_1 $(4,2), $ A_2 $(-4,-2);
(2) 点 $ B(1,-2) $ 的对应点分别为 $ B_1 $(2,-4), $ B_2 $(-2,4).
(3) 若点 $ P(x,y) $ 为 $ AB $ 上一点, 则其对应点分别为 $ P_1 $(2x,2y), $ P_2 $(-2x,-2y).
归纳: 在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心, 画出一个与原图形位似的图形, 使它与原图形的相似比为 $ k $, 那么与原图形上的点 $ (x,y) $ 对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

答案：
(1)(4,2)　(-4,-2)
(2)(2,-4)　(-2,4)
(3)(2x,2y)　(-2x,-2y)
归纳:原点(kx,ky)　(-kx,-ky)

【例题 2】如图, 在直角坐标系中, 矩形 $ OABC $ 的顶点 $ O $ 在坐标原点上, 边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上, 边 $ OC $ 在 $ y $ 轴上, 如果矩形 $ OA'B'C' $ 与矩形 $ OABC $ 关于点 $ O $ 位似, 且矩形 $ OA'B'C' $ 与矩形 $ OABC $ 的相似比为 $ \frac{1}{2} $, 那么点 $ B' $ 的坐标是(D)

A.$ (-2,3) $
B.$ (2,-3) $
C.$ (3,-2) $ 或 $ (-2,3) $
D.$ (-2,3) $ 或 $ (2,-3) $

答案： D

【变式 2】如图, 线段 $ CD $ 两个端点的坐标分别为 $ C(1,2) $, $ D(2,0) $, 以原点为位似中心, 将线段 $ CD $ 放大得到线段 $ AB $, 若点 $ B $ 的坐标为 $ (6,0) $, 则点 $ A $ 的坐标为(D)

A.$ (2,5) $
B.$ (2.5,5) $
C.$ (3,5) $
D.$ (3,6) $

答案： D

【例题 3】如图, $ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别为 $ A(1,1) $, $ B(2,3) $, $ C(3,0) $.
(1) 以点 $ O $ 为位似中心画 $ \triangle DEF $, 使它与 $ \triangle ABC $ 位似, 且相似比为 2;
(2) 在(1) 的条件下, 若 $ M(a,b) $ 为 $ \triangle ABC $ 边上的任意一点, 则 $ \triangle DEF $ 的边上与点 $ M $ 对应的点 $ M' $ 的坐标为____.

答案：
解:
(1)如图所示,△DEF和△D'E'F'为所求.

(2)(2a,2b)或(-2a,-2b)

【变式 3】如图, 已知 $ \triangle ABC $ 和点 $ M(1,2) $.
(1) 以点 $ M $ 为位似中心, 使 $ \triangle A'B'C' $ 与 $ \triangle ABC $ 的相似比为 $ 2:1 $, 在网格中画出 $ \triangle ABC $ 的位似图形 $ \triangle A'B'C' $;
(2) 写出 $ \triangle A'B'C' $ 各顶点的坐标.

答案：
解:
(1)如图,△A'B'C'即为所作

(2)A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).

1. 如图, 线段 $ AB $ 两个端点的坐标分别为 $ A(6,6) $, $ B(8,2) $, 以原点 $ O $ 为位似中心, 在第一象限内将线段 $ AB $ 缩小后得到线段 $ CD $, 且点 $ D $ 的坐标为 $ (4,1) $, 则端点 $ C $ 的坐标为(C)

A.$ (3,1) $
B.$ (4,1) $
C.$ (3,3) $
D.$ (3,4) $

答案： C

2. $ \triangle ABC $ 三个顶点 $ A(3,6) $, $ B(6,2) $, $ C(2,-1) $, 以原点为位似中心, 得到的位似图形 $ \triangle A'B'C' $ 三个顶点的坐标分别为 $ A'(1,2) $, $ B'(2,\frac{2}{3}) $, $ C'(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}) $, 则 $ \triangle A'B'C' $ 与 $ \triangle ABC $ 的位似比是1:3.

答案： 1:3

3. 如图, 以某点为位似中心, 将 $ \triangle AOB $ 进行位似变换得到 $ \triangle CDE $, 记 $ \triangle AOB $ 与 $ \triangle CDE $ 对应边的比为 $ k $, 则位似中心的坐标和 $ k $ 的值分别为(C)

A.$ (0,0) $, 2
B.$ (2,2) $, $ \frac{1}{2} $
C.$ (2,2) $, 2
D.$ (2,2) $, 3

答案： C

4. 如图, $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 是以原点 $ O $ 为位似中心的位似图形, 点 $ A(-2,4) $ 和点 $ D(4,-8) $ 是对应点, 则 $ \triangle ABC $ 内的点 $ P(m,n) $ 的对应点 $ P' $ 的坐标为(B)

A.$ (2m,2n) $
B.$ (-2m,-2n) $
C.$ (2m,-2n) $
D.$ (-2m,2n) $

答案： B

5. 如图, 将 $ \triangle ABC $ 以点 $ A $ 为位似中心按相似比 2 放大, 得到 $ \triangle AB_1C_1 $, 则点 $ C $ 的对应点 $ C_1 $ 的坐标是(D)

A.$ (1,4) $
B.$ (-3,-4) $
C.$ (-1,-4) $ 或 $ (1,4) $
D.$ (1,4) $ 或 $ (-3,-4) $

答案： D