《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.项目式学习(素材来源:人教九下 P81 数学活动):利用测角仪测高
某数学兴趣小组用自制的测角仪在公园进行实地测量,活动过程如下:

【探究原理】(1)制作测角仪时,将一根细线固定在半圆形量角器的圆心 O 处,细线的另一端系一个小重物 G,使支杆 OM、量角器 $ 90 ^ { \circ } $ 刻度线 ON 与铅垂线 OG 相互重合(如图 1).测量时,用手托起支杆 OM,再绕点 O 转动量角器,使观测目标 P 与直径两端的点 A,B 共线(如图 2),此时目标 P 的仰角 $ \angle POC = \angle GON $.请说明这两个角相等的理由.
解：由题意，得$ \angle COG = 90 ^ { \circ } $，$ \angle AON = 90 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle POC + \angle CON = \angle GON + \angle CON = 90 ^ { \circ } $。$ \therefore \angle POC = \angle GON $。
【实地测量】(2)如图 3,公园广场上有一棵树,为测量树 PH 的高度,同学们在观测点 K 处将自制的测角仪用手托起,拿到眼前,使视线沿着半圆形量角器的直径刚好达到树的最高点,测得树顶端 P 的仰角 $ \angle POQ = 60 ^ { \circ } $,观测点与树的距离 KH 为 5 m,点 O 到地面的距离 OK 为 1.6 m,求树 PH 的高度(结果精确到 0.1 m).(参考数据: $ \sqrt { 3 } \approx 1.73 $)
解：由题意，得$ KH = OQ = 5 $米，$ QH = OK = 1.6 $米，$ \angle PQO = 90 ^ { \circ } $，在$ \mathrm { Rt } \triangle P O Q $中，$ \tan \angle P O Q = \tan 60 ^ { \circ } = \frac { P Q } { O Q } $，$ \therefore P Q = O Q \cdot \tan 60 ^ { \circ } = 5 \sqrt { 3 } $，$ \therefore P H = P Q + Q H = 5 \sqrt { 3 } + 1.6 \approx 10.3 $（米）。答：树$ P H $的高度约为10.3米。

【拓展探究】(3)公园高台上有一凉亭,为测量凉亭顶端 P 距地面的高度 PH(如图 4),同学们经过讨论,决定先在水平地面上选取观测点 E,F(E,F,H 在同一直线上),分别测得凉亭顶端 P 的仰角为 $ \angle \alpha , \angle \beta $,再测得点 E,F 间的距离为 m.已知点 $ O _ { 1 } , O _ { 2 } $ 到地面的距离 $ O _ { 1 } E , O _ { 2 } F $ 均为 1.6 m,求 PH 的长(用含 $ \alpha , \beta , m $ 的式子表示).
解：由题意，得$ O _ { 1 } O _ { 2 } = m $，$ O _ { 1 } E = O _ { 2 } F = D H = 1.6 $米，在$ \mathrm { Rt } \triangle P O _ { 1 } D $中，$ \tan \alpha = \frac { P D } { O _ { 1 } D } $，$ \therefore O _ { 1 } D = \frac { P D } { \tan \alpha } $，在$ \mathrm { Rt } \triangle P O _ { 2 } D $中，$ \tan \beta = \frac { P D } { O _ { 2 } D } $，$ \therefore O _ { 2 } D = \frac { P D } { \tan \beta } $，$ \because O _ { 1 } O _ { 2 } = O _ { 1 } D - O _ { 2 } D $，$ \therefore m = \frac { P D } { \tan \beta } - \frac { P D } { \tan \alpha } $，$ \therefore P D = \frac { m \tan \alpha \tan \beta } { \tan \alpha - \tan \beta } $，$ \therefore P H = P D + D H = $$\frac { m \tan \alpha \tan \beta } { \tan \alpha - \tan \beta } + 1.6$（米）。

答案： 1. 解：
(1) 由题意，得 $ \angle COG = 90 ^ { \circ } $，$ \angle AON = 90 ^ { \circ } $。
$ \therefore \angle POC + \angle CON = \angle GON + \angle CON = 90 ^ { \circ } $。
$ \therefore \angle POC = \angle GON $。
(2) 由题意，得 $ KH = OQ = 5 $ 米，$ QH = OK = 1.6 $ 米，$ \angle PQO = 90 ^ { \circ } $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle P O Q $ 中，$ \tan \angle P O Q = \tan 60 ^ { \circ } = \frac { P Q } { O Q } $，
$ \therefore P Q = O Q \cdot \tan 60 ^ { \circ } = 5 \sqrt { 3 } $，
$ \therefore P H = P Q + Q H = 5 \sqrt { 3 } + 1.6 \approx 10.3 $（米）。
答：树 $ P H $ 的高度约为 $ 10.3 $ 米。
(3) 由题意，得 $ O _ { 1 } O _ { 2 } = m $，$ O _ { 1 } E = O _ { 2 } F = D H = 1.6 $ 米，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle P O _ { 1 } D $ 中，$ \tan \alpha = \frac { P D } { O _ { 1 } D } $，
$ \therefore O _ { 1 } D = \frac { P D } { \tan \alpha } $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle P O _ { 2 } D $ 中，$ \tan \beta = \frac { P D } { O _ { 2 } D } $，
$ \therefore O _ { 2 } D = \frac { P D } { \tan \beta } $，
$ \because O _ { 1 } O _ { 2 } = O _ { 1 } D - O _ { 2 } D $，
$ \therefore m = \frac { P D } { \tan \beta } - \frac { P D } { \tan \alpha } $，
$ \therefore P D = \frac { m \tan \alpha \tan \beta } { \tan \alpha - \tan \beta } $，
$ \therefore P H = P D + D H = ( \frac { m \tan \alpha \tan \beta } { \tan \alpha - \tan \beta } + 1.6 ) $ 米。