《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图,教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱,其解析式为$y= -(x-2)^{2}+6$,则水柱的最大高度是(C)

A.2
B.4
C.6
D.$2+\sqrt {6}$

答案： C

2.如图,某涵洞的截面是抛物线形,在图中建立适当的坐标系,已知抛物线的解析式为$y= -\frac {1}{4}x^{2}$,当涵洞水面宽AB为12米时,则水面到涵洞顶点O的距离= ____9米.

答案： 9

3.在2024年巴黎奥运会上,17岁的中国跳水选手全红婵成功卫冕女子10米跳台冠军,成为世界上第三位在连续两届奥运会上获得该项目金牌的运动员,与跳水的传奇人物伏明霞和陈若琳站在了同一历史的巅峰.假设全红婵在10m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,她离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最大高度为11m.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
(1)y=-(x-1)²+11
(2)(1+√11)米

答案： 解:
(1)根据题意可得，抛物线过 $ (0,10) $ 和 $ (1,11) $，对称轴为直线 $ x=1 $
设 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=a(x-1)^{2}+11 $，将 $ (0,10) $ 代入得: $ a+11=10 $，解得 $ a=-1 $， $ \therefore y=-(x-1)^{2}+11 $;
(2)在 $ y=-(x-1)^{2}+11 $ 中，令 $ y=0 $ 得 $ -(x-1)^{2}+11=0 $，解得 $ x=1+\sqrt{11} $ 或 $ x=1-\sqrt{11} $ (舍去)， $ \therefore OB $ 的长为 $ (1+\sqrt{11}) $ 米.

4.陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图所示,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知$OA= 3$米,$AB= 2$米,窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为$\frac {25}{8}$米.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式;$ y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} $
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?1

答案： 解:
(1)由题意得，点 $ M\left(\frac{3}{2}, \frac{25}{8}\right) $， $ B(3,2) $，设抛物线的解析式为 $ y=a\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} $
将点 $ B(3,2) $ 代入，得 $ 2=a\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} $，解得 $ a=-\frac{1}{2} $
$ \therefore y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} $
(2)设正方形的边长为 $ 2 m $ 米，由题意得，点 $ G\left(\frac{3}{2}-m, 2+2 m\right) $，将点 $ G $ 的坐标代入，得 $ 2+2 m=-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-m-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} $，解得 $ m=\frac{1}{2} $ 或 $ m=-\frac{9}{2} $ (舍去)
∴正方形窗户 $ DEFG $ 的边长为 $ 1 $ 米.