《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$.
若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7= 0$的两个实数根,则$a=$1,$b=$$-6$,$c=$$-7$.$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a}=$6;$x_{1}\cdot x_{2}= \frac {c}{a}=$$-7$.

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
1 $-6$ $-7$ $6$ $-7$

【例题1】不解方程,根据根与系数的关系填空.
| 方程 | $x_{1}+x_{2}$ | $x_{1}x_{2}$ |
| --- | --- | --- |
| $x^{2}-2x-3=0$ | 2 | -3 |
| $x^{2}-x-5=0$ | 1 | -5 |
| $x^{2}+mx+n=0$ | -m | n |

答案： | $x_{1}+x_{2}$ | $x_{1}x_{2}$ |
| --- | --- |
| $2$ | $-3$ |
| $1$ | $-5$ |
| $-m$ | $n$ |

【变式1】(人教九上P16教材改编)不解方程,求方程$(x-2)(x+1)-2= 0$的两根之和与两根之积.

答案： 解：原方程去括号、整理，得$x^{2}-x-4=0$．
$\because a=1$，$b=-1$，$c=-4$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，
$\therefore x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$．

【例题2】已知$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}-8x-2= 0$的两个实数根,求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值.

答案： 解：$\because a=2$，$b=-8$，$c=-2$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$，
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$，
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16+2=18$．

【变式2】已知方程$x^{2}+2x-1= 0的两根为x_{1}与x_{2}$,求$x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}$的值.

答案： 解：$\because a=1$，$b=2$，$c=-1$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-2$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-1$，
$\therefore x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}=x_{1}x_{2}(x_{2}+x_{1})=(-1)×(-2)=2$．

【例题3】已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+m= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围;$m\leq\frac{9}{4}$
(2)若两个实数根分别为$x_{1}和x_{2}$,且$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}= 1.5$,求m的值.2

答案： 解：（1）由题意，得$\Delta\geq0$，
$\Delta=b^{2}-4ac=9-4m\geq0$，$-4m\geq-9$，
$\therefore m\leq\frac{9}{4}$；
（2）$\because a=1$，$b=-3$，$c=m$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=3$，
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=m$．
又$\because\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{m}=1.5$，
解得$m=2$．

【变式3】已知关于x的方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2= 0.$
(1)若方程有实数根,求m的取值范围;$m\geq\frac{1}{2}$
(2)若两个实数根为$x_{1},x_{2}满足(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 8$,求m的值.1

答案： 解：（1）由题意，得$\Delta\geq0$，
$\Delta=b^{2}-4ac=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+2)\geq0$，
化简得$8m\geq4$，
$\therefore m\geq\frac{1}{2}$；
（2）$\because a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^{2}+2$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2(m+1)$，
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=m^{2}+2$，
$\because(x_{1}+1)(x_{2}+1)=(x_{1}x_{2})+(x_{1}+x_{2})+1=m^{2}+2+2(m+1)+1=8$，
$m^{2}+2m-3=0$，
$(m-1)(m+3)=0$，
$\therefore m=1$或$m=-3$，
又$\because m\geq\frac{1}{2}$，
$\therefore m=1$．