《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
一般地,形如$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,$k \neq$0)的函数,叫做反比例函数,其中$x$是自变量,$y$是函数。自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
1. (④)下列函数是反比例函数的有____。(填序号)
①$y = \frac{1}{x + 1}$ ②$y = 5x$ ③$y = \frac{2}{x^2}$ ④$y = -\frac{4}{x}$
2. 一个矩形的面积为6,矩形的长$y随宽x$的变化而变化,则$y可用x$表示为$y=\frac{6}{x}$。

答案： $y=\frac{k}{x}$ 0 $x≠0$ 1.④ 2.$y=\frac{6}{x}$

【例题1】下列$y关于x$的函数中,属于反比例函数的是(D)
A.$y = -3x$
B.$y = \frac{x}{3}$
C.$y = \frac{3}{x + 1}$
D.$y = \frac{3}{x}$

答案： D

【变式1】给出下列函数：①$y = x + 1$；②$y = \frac{x}{2}$；③$y = x^{-1}$；④$y = \frac{1}{x + 2}$。其中$y是x$的反比例函数的有③。(填序号)

答案： ③

【例题2】(人教九下P3教材改编)已知$y与x$成反比例,且$x = 2$时,$y = -8$。
(1)求$y与x$的函数解析式；
解：设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$x=2$时，$y=-8$，
∴$-8=\frac{k}{2}$，解得$k=$-16，
∴$y$与$x$的函数解析式为$y=$$-\frac{16}{x}$；
(2)当$x = -4$时,求$y$的值。
解：当$x=-4$时，$y=$4。

答案： 解：
(1)设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$x=2$时，$y=-8$，
∴$-8=\frac{k}{2}$，解得$k=-16$，
∴$y$与$x$的函数解析式为$y=-\frac{16}{x}$；
(2)当$x=-4$时，$y=\frac{-16}{-4}=4$。

【变式2】已知$y是x$的反比例函数,当$y = -6$时,$x = 9$。
(1)求$y关于x$的函数解析式；
解：设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$y=-6$时，$x=9$，
∴$-6=\frac{k}{9}$。解得$k=$-54。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=$$-\frac{54}{x}$；
(2)当$x = 4$时,求$y$的值；
解：把$x=4$代入$y=-\frac{54}{x}$，得$y=$$-\frac{27}{2}$；
(3)当$y = 3$时,求$x$的值。
解：把$y=3$代入$y=-\frac{54}{x}$，得$x=$-18。

答案： 解：
(1)设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵当$y=-6$时，$x=9$，
∴$-6=\frac{k}{9}$。解得$k=-54$。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{54}{x}$；
(2)把$x=4$代入$y=-\frac{54}{x}$，得$y=-\frac{27}{2}$；
(3)把$y=3$代入$y=-\frac{54}{x}$，得$x=-18$。

【例题3】如图,$\triangle ABC的面积为15\mathrm{cm}^2$,它的一边长为$x\mathrm{cm}$,且此边上的高为$y\mathrm{cm}$。
(1)请写出$y与x$之间的函数解析式；$y=\frac{30}{x}$
(2)当$x = 3$时,求$y$的值。10

答案： 解：
(1)由题意得$y=\frac{30}{x}$；
(2)当$x=3$时，$y=\frac{30}{3}=10$。

【变式3】如图,矩形的面积为48,其中一对邻边的长分别为$x$,$y$。
(1)$y与x$之间的函数解析式为$y=\frac{48}{x}$；
(2)当$x = 6$时,$y = $8；
(3)当$y = 4$时,$x = $12。

答案：
(1)$y=\frac{48}{x}$
(2)8
(3)12