《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(跨学科融合)心理学家发现:学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系,当提出概念13min时,学生对概念的接受能力最强,为59.9;当提出概念30min时,学生对概念的接受能力就剩下31,则y与x满足的函数关系式为(D)
A.$y= -0.1(x+13)^{2}+59.9$
B.$y= -0.1(x-13)^{2}-59.9$
C.$y= -0.1(x+13)^{2}-59.9$
D.$y= -0.1(x-13)^{2}+59.9$

答案： D

2.(数学文化)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记$p= \frac {a+b+c}{2}$,则其面积$S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若$p= 5,c= 4$,则此三角形面积的最大值为____$ 2\sqrt{5} $.

答案： $ 2\sqrt{5} $ 解析：由题意，得 $ a + b + c = 2p $，$ c = 4 $，$ p = 5 $，$\therefore a + b + 4 = 10 $，$ b = 6 - a $，
$\therefore s = \sqrt{5(5 - a)(5 + a - 6)(5 - 4)} = \sqrt{5(-a^{2} + 6a - 5)} = \sqrt{-5(a - 3)^{2} + 20} $，
$\therefore $ 当 $ a = 3 $ 时，$ S $ 有最大值，最大值为 $ 2\sqrt{5} $。

3.综合与实践
主题:建立二次函数模型解决数字乘积问题。
(1)数学活动:下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),通过计算可得出其中积最大的算式是____95×95.
$91×99,92×98,...,99×91$.
(2)阅读材料:对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路.
设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为$(10-x)$,求出y与x的函数关系式,并求出上述算式中的最大算式;
(3)问题解决:下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是9,后两位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个算式的积最大,并用函数的观点说明理由;
$901×999,902×998,...,998×902,999×901$。

答案：
(1) $ 95×95 $
(2) 由题意得
$ y = (90 + x)[90 + (10 - x)] $
$ = (90 + x)(100 - x) $
$ = -(x - 50)^{2} + 9025(x = 1, 2, \cdots, 8, 9) $，
$\because -1 ＜ 0 $，
$\therefore $ 当 $ a = 50 $ 时，$ y $ 有最大值，
$\therefore 95×95 $ 的积最大；
(3) 解：$ 950×950 $ 的积最大。理由如下：
设两个乘数的积为 $ w $，其中一个乘数的后两位上的数组成的数为 $ a $，则另一个乘数的后两位上的数组成的数为 $ (100 - a) $，由题意得
$ w = (900 + a)[900 + (100 - a)] $
$ = (900 + a)(1000 - a) $
$ = -(a - 50)2 + 902500(a = 1, 2, \cdots, 98, 99) $，
$\because -1 ＜ 0 $，
$\therefore $ 当 $ a = 50 $ 时，$ w $ 有最大值，
$\therefore 950×950 $ 的积最大。