《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
根据三角板的数据填空：

$ \sin 30 ^ { \circ } = $$\frac { 1 } { 2 }$；$ \cos 30 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$；
$ \tan 30 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$；$ \sin 60 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$；
$ \cos 60 ^ { \circ } = $$\frac { 1 } { 2 }$；$ \tan 60 ^ { \circ } = $$\sqrt { 3 }$；
$ \sin 45 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；$ \cos 45 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；
$ \tan 45 ^ { \circ } = $1.

答案： $\frac { 1 } { 2 }$ $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ $\frac { 1 } { 2 }$ $\sqrt { 3 }$ $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ 1

二、新课学习
默写表格并熟记.

表格规律：
1. 第一排分母都是 $ 2 $,分子依次为 $ \sqrt { 1 }, \sqrt { 2 }, \sqrt { 3 } $；
2. 第二排与第一排刚好对调；
3. 第三排：$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \xleftarrow { ÷ \sqrt { 3 } } 1 \xrightarrow { × \sqrt { 3 } } \sqrt { 3 } $.
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| $\frac{\sqrt{1}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $2$ | $\sqrt{2}$ | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |

答案： 【解析】：根据表格规律，第一排分母都是$2$，分子依次为$\sqrt { 1 }, \sqrt { 2 }, \sqrt { 3 }$，可得第一排为$\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$；第二排与第一排刚好对调，那么第二排为$\frac{2}{\sqrt{1}},\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{2}{\sqrt{3}}$，对其化简，$\frac{2}{\sqrt{1}} = 2$，$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；第三排按照$\frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \xleftarrow { ÷ \sqrt { 3 } } 1 \xrightarrow { × \sqrt { 3 } } \sqrt { 3 }$的规律为$\frac{\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{3}$。
【答案】：
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| $\frac{\sqrt{1}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $2$ | $\sqrt{2}$ | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |

【例题1】计算：
(1) $ \sin 45 ^ { \circ } = $$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；(2) $ 2 \cos 60 ^ { \circ } = $1；
(3) $ 3 \tan 45 ^ { \circ } = $3；(4) $ \sqrt { 2 } \sin 45 ^ { \circ } = $1；
(5) $ \sin ^ { 2 } 30 ^ { \circ } = $$\frac { 1 } { 4 }$；(6) $ \tan ^ { 2 } 30 ^ { \circ } = $$\frac { 1 } { 3 }$；
(7) $ \sin 60 ^ { \circ } \cdot \tan 60 ^ { \circ } = $$\frac { 3 } { 2 }$.

答案：
(1)$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
(2)1
(3)3
(4)1
(5)$\frac { 1 } { 4 }$
(6)$\frac { 1 } { 3 }$
(7)$\frac { 3 } { 2 }$

【变式1】计算：
(1) $ \sin 30 ^ { \circ } + 4 \tan 45 ^ { \circ } - 2 \cos 60 ^ { \circ } $；
(2) (人教九下 P66) $ \sin ^ { 2 } 60 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 60 ^ { \circ } $；
(3) $ ( - 1 ) ^ { 2023 } - 2 \tan 60 ^ { \circ } + ( \sin 30 ^ { \circ } + 1 ) ^ { 0 } + \sqrt { 12 } $.

答案： 解：
(1)原式$=\frac { 1 } { 2 } + 4 - 1 = \frac { 7 } { 2 }$；
(2)原式$=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } × \frac { 1 } { 2 } = 1$；
(3)原式$= - 1 - 2 \sqrt { 3 } + 1 + 2 \sqrt { 3 } = 0$。

【例题2】已知 $ \angle A $ 是锐角,填空：
(1) 若 $ \sin A = \frac { 1 } { 2 } $,则 $ \angle A = $$30^{\circ}$；
(2) 若 $ \tan A = 1 $,则 $ \angle A = $$45^{\circ}$；
(3) 若 $ 2 \cos A = 1 $,则 $ \angle A = $$60^{\circ}$；
(4) 若 $ \tan ^ { 2 } A = 3 $,则 $ \angle A = $$60^{\circ}$；
(5) 若 $ \sin ( \angle A + 15 ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $,则 $ \angle A = $$30^{\circ}$.

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)$45^{\circ}$
(3)$60^{\circ}$
(4)$60^{\circ}$
(5)$30^{\circ}$

【变式2】已知 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle A , \angle B $ 满足 $ ( 1 - \tan A ) ^ { 2 } + \left| \cos B - \frac { 1 } { 2 } \right| = 0 $.
(1) 试判断 $ \triangle A B C $ 的形状；
(2) 求 $ ( 1 + \sin A ) ^ { 2 } - 2 \sqrt { \cos B } - ( 3 + \tan C ) ^ { 0 } $ 的值.

答案： 解：
(1)由题意，得$\tan A = 1$，$\cos B = \frac { 1 } { 2 }$。
$\therefore \angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 75^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$是锐角三角形；
(2)原式$= ( 1 + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } - 2 \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } - 1 = \frac { 3 } { 2 } - 1 = \frac { 1 } { 2 }$。

1. 下列三角函数中,值为 $ \frac { 1 } { 2 } $ 的是(D)
A.$ \cos 45 ^ { \circ } $
B.$ \tan 30 ^ { \circ } $
C.$ \sin 5 ^ { \circ } $
D.$ \cos 60 ^ { \circ } $

答案： D

2. 若一个三角形三个内角度数的比为 $ 1 : 2 : 3 $,则这个三角形最小内角的正切值为(A)
A.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $
B.$ \frac { 1 } { 2 } $
C.$ \frac { 1 } { 3 } $
D.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $

答案： A

3. 计算：
(1) $ \sin 45 ^ { \circ } + \cos 45 ^ { \circ } $；
(2) $ 2 \sin 30 ^ { \circ } - \tan 60 ^ { \circ } + \tan 45 ^ { \circ } $.

答案： 解：
(1)原式$=\frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } = \sqrt { 2 }$；
(2)原式$= 2 × \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { 3 } + 1 = 2 - \sqrt { 3 }$。

4. 计算：$ | - \sqrt { 3 } | + \sqrt { 2 } \sin 45 ^ { \circ } + \tan 60 ^ { \circ } - \left( - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \sqrt { 12 } + ( \pi - 3 ) ^ { 0 } $.

答案： 解：原式$= \sqrt { 3 } + 1 + \sqrt { 3 } - \frac { 1 } { 9 } - 2 \sqrt { 3 } + 1 = \frac { 17 } { 9 }$。