《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
相似三角形的性质：
(1) 对应角相等,对应边的比相等；
(2) 相似比$k = 对应边的比= $对应高的比$=$周长的比$=$对应中线的比$=$对应角平分线的比；
(3) 面积比$=$相似比的平方.
如图,$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,对应边的比为$\frac{1}{2}$,则：
相似比等于$\frac{1}{2}$,对应高的比等于$\frac{1}{2}$,周长比等于$\frac{1}{2}$,对应中线的比等于$\frac{1}{2}$.
面积比等于$\frac{1}{4}$,对应角平分线的比等于$\frac{1}{2}$.

答案：
(1)相等 相等
(2)对应高 周长 对应中线 对应角平分线
(3)相似比的平方
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$

【例题1】如果两个相似三角形对应边之比是$1:4$,那么它们的对应中线之比是(B)
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$

答案： B

【变式1】若$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,周长比为$2:1$,则下列说法错误的是(C)
A.相似比为$2:1$
B.对应中线的比为$2:1$
C.对应角的比为$2:1$
D.对应高的比为$2:1$

答案： C

【例题2】$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是相似图形,且$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的相似比是1:2,则$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的面积比是(C)
A.$1:2$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$1:4$
D.$2:1$

答案： C

【变式2】如图,已知$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$,且$AD:DB = 2:1$,则$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC} = $(D)

A.$2:1$
B.$4:1$
C.$2:3$
D.$4:9$

答案： D

【例题3】如图,$DE // BC$,$AD:DB = 5:3$.
(1)$\triangle ADE与\triangle ABC$的周长的比为5:8,面积的比为25:64；
(2) 若$\triangle ADE的面积为50\ \text{cm}^2$,求四边形$DBCE$的面积.

答案： 解：
(1)$5:8$ $25:64$
(2)$\because △ADE$与$△ABC$的面积比为$25:64$，
$△ADE$的面积为$50cm^{2}$，
$\therefore △ABC$的面积为$128cm^{2}$，
$\therefore$ 四边形DBCE的面积为$S_{△ABC}-S_{△ADE}=78cm^{2}$。

【变式3】如图,在$□ ABCD$中,$P是CD$的中点,$AC与PB交于点Q$. 若$\triangle ABQ的周长为8$,面积为$6$,求$\triangle CPQ$的周长和面积.

$\triangle CPQ$的周长为4，面积为$\frac{3}{2}$.

答案： 解：$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore ∠PCQ=∠BAQ$。
$\because ∠CQP=∠AQB$，
$\therefore △ABQ\backsim △CPQ$。
又$\because$ P是CD的中点，$AB=CD$，
$\therefore \frac{AB}{CP}=\frac{2}{1}$，$\frac{C_{△ABQ}}{C_{△APQ}}=\frac{2}{1}$，$\frac{S_{△ABQ}}{S_{△CPQ}}=\frac{4}{1}$，
$\because △ABQ$的周长为8，面积为6，
$\therefore △CPQ$的周长为$8÷2=4$，$△CPQ$的面积为$6÷4=\frac{3}{2}$。