《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习


垂直 平分CD为直径，$AE = BE$$CD \perp AB$$\overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{CB}$$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$

答案： 垂直 平分 CD为直径，$AE = BE$ $CD \perp AB$
$\overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{CB}$ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$

【例题1】
如图,在$\odot O$中,$B为弦CD$的中点,则：
(1) 图中相等的劣弧有：$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AD}$；
(2) $OA$垂直平分$CD$.

答案：
(1)$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AD}$
(2)垂直平分

【变式1】
如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$,下列说法错误的是(D)

B. $MA = MB$
C. $\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$
D. $MO = MC$

答案： D

【例题2】
如图所示,$\odot O的弦AB = 8$,$M是AB$的中点,且$OM = 3$,则$\odot O$的半径等于(B)

A.2
B.5
C.8
D.10

答案： B

【变式2】
如图,$D为\overset{\frown}{AB}$的中点,$\odot O$的半径为10,$CD = 4$,则$AB$的长为16.

答案： 16

【例题3】
如图,$AC垂直平分\odot O的半径OB$,垂足为$P$,四边形$OABC$是什么特殊的四边形？证明你的结论.

解:四边形OABC是菱形.证明如下:
$\because AC$ 垂直平分 $OB$，
$\therefore AC \perp OB$，$PO = PB$，
$\therefore PA = PC$，
$\therefore$ 四边形OABC是平行四边形.
又 $\because AC \perp OB$，$\therefore$ 平行四边形OABC是菱形.

答案： 解:四边形OABC是菱形.证明如下:
$\because AC$ 垂直平分 $OB$，
$\therefore AC \perp OB$，$PO = PB$，
$\therefore PA = PC$，
$\therefore$ 四边形OABC是平行四边形.
又 $\because AC \perp OB$，$\therefore$ 平行四边形OABC是菱形.

【变式3】
(人教九上P89教材改编)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点$O$为圆心的圆的一部分,如果$M是\odot O中弦CD$的中点,$EM经过圆心O交\odot O于点E$,并且$CD = 4$,$EM = 6$,求$\odot O$的半径.

答案：
解:如图，连接$OC$.

设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OC = r$，
$OM = 6 - r$.
$\because M$ 是 $CD$ 的中点，
$\therefore CM = \frac{1}{2}CD = 2$.
在 $Rt\triangle OMC$ 中，$OC^2 = CM^2 + OM^2$，
即 $r^2 = 4 + (6 - r)^2$，
解得 $r = \frac{10}{3}$，
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{10}{3}$.

1. (2025·西安二模)如图,$AB是\odot O$的弦,点$D是弦AB$的中点,$OD与\odot O交于点C$,$AE$是直径,连接$BE$、$DE$,若$DE = 3DO = 6$,则半径$OC$的长为(C)

A.4
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{6}$
D.5

答案： C

2. 如图,$\angle A = 45^{\circ}$,$C为\odot O的弦AB$的中点,$AB = 2$,则$\odot O$的面积为$2\pi$.

答案： $2\pi$

3.(2024·潮州二模)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问：径几何?”用现在的几何语言表达即：如图,弦AB⊥ CD,垂足为点 D,CD= 1 寸,AB =1尺（10寸），则圆的直径长度是26寸。

答案： 26寸

4. 如图,点$P$是半径为5的$\odot O$内的一点,且$OP = 3$,在过点$P$的所有弦中长度为整数的弦的条数为4.

答案： 4