《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成6个矩形小块(阴影部分),如果6个矩形小块的面积和为$5310m^2,$你知道水渠应挖多宽吗？若设水渠应挖x m宽,则根据题意,下面所列方程中正确的是(A)

A.$(92 - 2x)(60 - x) = 5310$
B.$92 × 60 - 2 × 60x - 92x - 2x^2 = 5310$
C.$92 × 60 - 2 × 60x - 92x = 5310$
D.$92 × 60 - 2 × 92x - 60x + 2x^2 = 5310$

答案： A

2. 如图,将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并将每一段铁丝做成一个正方形,要使这两个正方形的面积之和等于$17cm^2,$那么这条铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm，16 cm.

答案： 4 cm, 16 cm 解析:设剪成两段后其中一段为 $ x $ cm,则另一段为 $ (20 - x) $ cm.由题意,得 $ \left(\frac{x}{4}\right)^{2} + \left(\frac{20 - x}{4}\right)^{2} = 17 $,解得 $ x_{1} = 16 $, $ x_{2} = 4 $.当 $ x_{1} = 16 $ 时, $ 20 - x = 4 $;当 $ x_{2} = 4 $ 时, $ 20 - x = 16 $. $ \therefore $ 这段铁丝剪成两段后的长度分别为 4 cm, 16 cm.

3. 如图,在长为8cm,宽为4cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,折成一个底面积为$12cm^2$的无盖长方体,求截去的小正方形的边长.

解:设截去的小正方形的边长为 xcm.
依题意,得 (8 - 2x)(4 - 2x) = 12,
解得 x₁ = 1, x₂ = 5(舍去),
∴x = 1.
答:截去的小正方形的边长为 1cm.

答案： 解:设截去的小正方形的边长为 $ x $ cm.
依题意,得 $ (8 - 2x)(4 - 2x) = 12 $,
解得 $ x_{1} = 1 $, $ x_{2} = 5 $ (舍去),
$ \therefore x = 1 $.
答:截去的小正方形的边长为 1 cm.

4. 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2m宽的门,另外三边用竹子围成篱笆,篱笆总长为33m,围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18m,要使围成的鸡场面积为$150m^2,$则鸡场的长和宽各为多少米？
答：鸡场的长为15m，宽为10m；
(2)能围成面积为$200m^2$的鸡场吗？
答：不能围成面积为$200m^2$的鸡场.

答案： 解:
(1)设长方形与墙垂直的一边长为 $ x $ m,则与墙平行的一边长为 $ (33 - 2x + 2) $ m.
根据题意,得 $ x(33 - 2x + 2) = 150 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = \frac{15}{2} $.
当 $ x_{1} = 10 $ 时, $ 33 - 2x + 2 = 15 ＜ 18 $,
当 $ x_{2} = \frac{15}{2} $ 时, $ 33 - 2x + 2 = 20 ＞ 18 $ (舍去).
答:鸡场的长为 15 m,宽为 10 m;
(2)设长方形中与墙平行的一边长为 $ y $ m,则与墙垂直的一边的长为 $ \frac{33 - (y - 2)}{2} $ m.
根据题意,得 $ \frac{33 - (y - 2)}{2} \cdot y = 200 $,
整理,得 $ y^{2} - 35y + 400 = 0 $,
$ \because \Delta ＜ 0 $,
$ \therefore $ 此方程无实数根.
答:不能围成面积为 $ 200m^{2} $ 的鸡场.

5. 如图,在△ABC中,∠B = 90°,AB = 6cm,BC = 12cm.点P以1cm/s的速度从点A开始沿AB边向点B移动,同时点Q以2cm/s的速度从点B开始沿BC边向点C移动.当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s.解答下列问题：

(1)当t = 2 或 4时,△PBQ的面积等于$8cm^2；$
(2)不存在(填“存在”或“不存在”)某一时刻t,使△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一.

答案：
(1)2 或 4 解析:由题意,得 $ AP = t $ cm, $ AB = 6 $ cm, $ BQ = 2t $ cm, $ \therefore PB = (6 - t) $ cm,由题意,得 $ \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = 8 $,整理,得 $ t^{2} - 6t + 8 = 0 $,解得 $ t_{1} = 2 $, $ t_{2} = 4 $.当 $ t $ 为 2 或 4 时, $ \triangle PBQ $ 的面积等于 $ 8cm^{2} $.
(2)不存在 解析:依题意,得 $ S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} $,即 $ \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × AB × BC = 12cm^{2} $.又 $ \because PB = AB - AP = (6 - t) $ cm, $ BQ = 2t $ cm, $ \therefore \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = 12 $,化简,得 $ t^{2} - 6t + 12 = 0 $. $ \because \Delta ＜ 0 $, $ \therefore $ 方程无解, $ \therefore $ 不存在某时刻使 $ \triangle PBQ $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 的面积的三分之一.