《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 圆的周长：$C = 2\pi r$($r$为半径)
B. 探究：推导弧长公式

$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$$\frac{n°}{360°}=\frac{n}{360}$$l = \frac{1}{2} \pi r$$l = \frac{2}{3} \pi r$$l = \frac{n}{180} \pi r$

答案： $\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$　$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$　$\frac{n°}{360°}=\frac{n}{360}$　$l = \frac{1}{2} \pi r$　$l = \frac{2}{3} \pi r$　$l = \frac{n}{180} \pi r$

【例题1】如图,在半径为$6cm$的圆中,求$120^{\circ}$的圆心角所对的弧长.

解:$l = \frac{n \pi r}{180} = \frac{120 × \pi × 6}{180} = $$4\pi$cm.

答案： 解:$l = \frac{n \pi r}{180} = \frac{120 × \pi × 6}{180} = 4 \pi$cm.

【变式1】(人教九上P115教材改编)已知圆弧的半径为$9cm$,圆心角为$90^{\circ}$,求弧长.

答案： 解:$l = \frac{n \pi r}{180} = \frac{90 × \pi × 9}{180} = \frac{9}{2} \pi$cm.

【例题2】弧长为$6\pi cm的弧所对的圆心角为90^{\circ}$,求该弧所在的圆的半径.

答案： 解:由$l = \frac{n \pi r}{180} = \frac{90 × \pi × r}{180} = 6 \pi$，解得$r = 12$cm.

【变式2】如果一个扇形的弧长为$\frac{4}{3}\pi cm$,半径是$6cm$,求此扇形的圆心角.

答案： 解:设该扇形的圆心角为$n°$，则$\frac{n × \pi × 6}{180} = \frac{4}{3} \pi$，解得$n = 40$，$\therefore$圆心角为$40°$.

【例题3】如图,$AB是\odot O$的直径,点$D为\odot O$上一点,且$\angle ABD = 30^{\circ}$,$BO = 4$,求劣弧$\overset{\frown}{BD}$的长.

答案：
解:如图,连接OD.

$\because OB = OD$，$\angle ABD = 30°$，$\therefore \angle DBO = \angle ODB = 30°$，$\angle BOD = 120°$，$\therefore \overset{\frown}{BD} = \frac{n \pi r}{180} = \frac{120 \pi × 4}{180} = \frac{8 \pi}{3}$.

【变式3】如图,在小正方形的边长都为$1$的方格纸中,$\triangle ABO$的顶点都在小正方形的顶点上,将$\triangle ABO绕点O顺时针方向旋转90^{\circ}得到\triangle A_{1}B_{1}O$,求点$A$运动的路径长.

解:在Rt$\triangle ABO$中，$OA = \sqrt{AB^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} =$$2\sqrt{5}$；$\because$点$A$运动的路径为$\overset{\frown}{AA_1}$，$\therefore l = \frac{90 \pi × 2 \sqrt{5}}{180} =$$\sqrt{5}\pi$.

答案： 解:在Rt$\triangle ABO$中，$OA = \sqrt{AB^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2 \sqrt{5}$；$\because$点$A$运动的路径为$\overset{\frown}{AA_1}$，$\therefore l = \frac{90 \pi × 2 \sqrt{5}}{180} = \sqrt{5} \pi$.