《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

13. 已知$x= -2$是关于x的方程$x^{2}+mx-6= 0$的一个根,求m的值及方程的另一个根.
m的值为-1，方程的另一个根为3。

答案： 13. 解：由题意，得$(-2)^{2}+(-2)× m - 6 = 0$，
解得$m = - 1$。
当$m = - 1$时，方程为$x^{2}-x - 6 = 0$，
解得$x_{1} = - 2$，$x_{2} = 3$，
$\therefore m$的值为$-1$，方程的另一个根为$x = 3$。

14. 已知一个直角三角形的两边的长恰好是方程$\frac {1}{2}x^{2}-\frac {7}{2}x+6= 0$的两个根,求此三角形的周长.

答案： 14. 解：整理方程，得$x^{2}-7x + 12 = 0$，
$(x - 3)(x - 4) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$或$x - 4 = 0$，
$\therefore x_{1} = 3$，$x_{2} = 4$，
$\therefore$这个直角三角形的两边长分别为3和4，
$\therefore$第三边为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$或$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，
$\therefore$此三角形的周长为$3 + 4 + 5 = 12$或$3 + 4+\sqrt{7}=7+\sqrt{7}$。

15. 芯片目前是全球紧缺资源,某市政府通过招商引资引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业,发展新兴产业,某芯片公司引进了一条内存芯片生产线,开工第一季度生产200万个,第三季度生产288万个.
(1)若每季度生产量的平均增长率相等,求前三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现,1条生产线最大产能是600万个/季度,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少20万个/季度,现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个,在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多,投入成本越大),应该再增加几条生产线?

答案： 15. 解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为$x$。
依题意，得$200(1 + x)^{2} = 288$，
解得$x_{1} = 0.2 = 20\%$，$x_{2} = - 2.2$（不合题意，舍去）。
答：前三季度生产量的平均增长率为$20\%$。
（2）设再增加$m$条生产线。
依题意，得$(m + 1)(600 - 20m) = 2600$，
整理，得$m^{2}-29m + 100 = 0$，
解得$m_{1} = 4$，$m_{2} = 25$。
$\because$在增加产能的同时又要节省投入成本，
$\therefore m = 4$。
答：应该再增加4条生产线。

16. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+2k-1= 0$有实数根.
(1)求k的取值范围；$k\leqslant1$
(2)设方程的两根分别是$x_{1},x_{2}$,且$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}= x_{1}\cdot x_{2}$,试求k的值.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案： 16. 解：（1）$\because$原方程有实数根，
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4(2k - 1)\geqslant0$，
解得$k\leqslant1$；
（2）$\because a = 1$，$b = - 2$，$c = 2k - 1$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=2k - 1$。
又$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=x_{1}\cdot x_{2}$，
$\therefore \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=x_{1}\cdot x_{2}$，
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=(x_{1}\cdot x_{2})^{2}$，
即$2^{2}-2(2k - 1)=(2k - 1)^{2}$，
解得$k_{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$k_{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
$\because k\leqslant1$，$\therefore k = -\frac{\sqrt{5}}{2}$。

17. (核心素养练)已知矩形两邻边的长a,b是方程$x^{2}-(k+1)x+\frac {1}{4}k^{2}+1= 0$的两根.
(1)求k的取值范围；
(2)当矩形的对角线长为$\sqrt {5}$时,求k的值；
(3)当k为何值时,矩形变为正方形?

答案： 17. 解：（1）由题意，得
$\Delta = b^{2}-4ac=[-(k + 1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{4}k^{2}+1)\geqslant0$，
解得$k\geqslant\frac{3}{2}$，
故$k$的取值范围是$k\geqslant\frac{3}{2}$；
（2）$\because a$，$b$是方程$x^{2}-(k + 1)x+\frac{1}{4}k^{2}+1 = 0$的两根，
$\therefore a + b = k + 1$，$ab=\frac{1}{4}k^{2}+1$，
$\because a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=(k + 1)^{2}-2(\frac{1}{4}k^{2}+1)=\frac{1}{2}k^{2}+2k - 1$。
$\because a^{2}+b^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}k^{2}+2k - 1 = 5$，
解得$k_{1} = - 6$（舍去），$k_{2} = 2$，
$\therefore k = 2$；
（3）由题意，得
$\Delta = b^{2}-4ac=[-(k + 1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{4}k^{2}+1)=0$，
解得$k=\frac{3}{2}$。