《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

11. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10 元,某商家用 8000 元购进的猪肉粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价 50 元时,每天可售出 100 盒;每盒售价提高 1 元时,每天少售出 2 盒.
(1) 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒售价 $ x $ 元 $ (50\leqslant x\leqslant65) $,$ y $ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式并求最大利润.

答案： 解：
(1) 设猪肉粽每盒进价 $ a $ 元，则豆沙粽每盒进价 $ (a - 10) $ 元，则 $ \frac{8000}{a} = \frac{6000}{a - 10} $，解得 $ a = 40 $，经检验 $ a = 40 $ 是方程的解，$ \therefore $ 猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元；
(2) 由题意得，当 $ x = 50 $ 时，每天可售出 100 盒，当猪肉粽每盒售价 $ x $ 元 $ (50 \leq x \leq 65) $ 时，每天可售 $ [100 - 2(x - 50)] $ 盒，$ \therefore y = x[100 - 2(x - 50)] - 40 × [100 - 2(x - 50)] = -2x^2 + 280x - 8000 $，配方，得 $ y = -2(x - 70)^2 + 1800 $，$ \because x ＜ 70 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，$ \therefore $ 当 $ x = 65 $ 时，$ y $ 取最大值，最大值为 $ -2 × (65 - 70)^2 + 1800 = 1750 $（元）。答：$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = -2x^2 + 280x - 8000 (50 \leq x \leq 65) $，且最大利润为 1750 元。

12. 如图,抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点,$ OA = 2 $,$ OC = 6 $,连接 $ AC $ 和 $ BC $,点 $ D $ 是抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式;$ y = x^2 - x - 6 $
(2) 求抛物线的顶点 $ D $ 的坐标;$ (\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}) $
(3) 点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,当 $ PA + PD $ 的值最小时,求点 $ P $ 的坐标.$ (0,-5) $

答案： 解：
(1) $ \because OA = 2 $，$ OC = 6 $，$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-6) $。$ \because $ 抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 过点 $ A $，$ C $，$ \therefore \begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \\ c = -6 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} b = -1 \\ c = -6 \end{cases} $，$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = x^2 - x - 6 $；
(2) 抛物线的解析式 $ y = x^2 - x - 6 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4} $，则抛物线的顶点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}) $。
(3) 连接 $ AD $，设直线 $ AD $ 的函数解析式为 $ y = kx + b $，将点 $ A $，$ D $ 的坐标代入函数 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} 0 = -2k + b \\ -\frac{25}{4} = \frac{1}{2}k + b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -\frac{5}{2} \\ b = -5 \end{cases} $，$ \therefore $ 直线 $ AD $ 的函数解析式为 $ y = -\frac{5}{2}x - 5 $，$ \because $ 点 $ P $ 在 $ y $ 轴上，$ \therefore $ 令 $ x = 0 $，得 $ y = -\frac{5}{2} × 0 - 5 = -5 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 坐标为 $ (0,-5) $。

13. 某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 $ ABCD $(篱笆只围 $ AB,BC $ 两边),设 $ AB = x $ m.
(1) 若花园的面积为 $ 192m^{2} $,求 $ x $ 的值;
(2) 若在点 $ P $ 处有一棵树与墙 $ CD,AD $ 的距离分别是 15 m 和 6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园的最大面积.
(1) $ x $ 的值为12或16；
(2) 花园的最大面积为195$ m^2 $。

答案： 解：
(1) $ \because AB = x $ m，则 $ BC = (28 - x) $ m，$ \therefore x(28 - x) = 192 $，解得 $ x_1 = 12 $，$ x_2 = 16 $，答：$ x $ 的值为 12 或 16；
(2) 设花园的面积为 $ S $ $ m^2 $，由题意，得 $ S = x(28 - x) = -x^2 + 28x = -(x - 14)^2 + 196 $。$ \because \begin{cases} x \geq 6 \\ 28 - x \geq 15 \end{cases} $，$ \therefore 6 \leq x \leq 13 $，此时 $ S $ 随 $ x $ 增大而增大，$ \therefore $ 当 $ x = 13 $ 时，$ S_{最大值} = -(13 - 14)^2 + 196 = 195 $。即花园的最大面积为 $ 195 $ $ m^2 $。

14. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离是 4,抛物线与 $ x $ 轴相交于 $ O,M $ 两点,$ OM = 4 $;矩形 $ ABCD $ 的 $ BC $ 边在线段 $ OM $ 上,点 $ A,D $ 在抛物线上.
(1) 请写出 $ P,M $ 两点的坐标并求这条抛物线的解析式;$ P $ 的坐标为(2,4)，点 $ M $ 的坐标为(4,0)，抛物线的解析式为y=4x-x²；
(2) 设矩形 $ ABCD $ 的周长为 $ y $,求 $ y $ 的最大值.最大值为10.

答案： 解：
(1) 根据题意，得点 $ P $ 的坐标为 $ (2,4) $，点 $ M $ 的坐标为 $ (4,0) $，设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 4 $。$ \because $ 函数的图象经过点 $ M(4,0) $，则 $ 4a + 4 = 0 $，解得 $ a = -1 $，故可得函数解析式为 $ y = -(x - 2)^2 + 4 = 4x - x^2 $；
(2) 设点 $ C $ 的坐标为 $ (x,0) $，则点 $ B $ 的坐标为 $ (4 - x,0) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (x,4x - x^2) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (4 - x,4x - x^2) $，故可得 $ y = 2(BC + CD) = 2[(4 - 2x) + (4x - x^2)] = 2(-x^2 + 2x + 4) = -2(x - 1)^2 + 10 $，即当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 有最大值，最大值为 10。