《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 下列方程是一元二次方程的是 (C)
A. $ ax^{2}+bx+c = 0 $
B. $ x^{2}+2x = x^{2}-1 $
C. $ (x - 1)(x - 3) = 0 $
D. $ x = 2 $

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}-3x-6 = 0 $ 是一元二次方程, 则 (A)
A. $ a \neq 0 $
B. $ a ＞ 0 $
C. $ a \geq 0 $
D. $ a = 1 $

答案： A

3. 方程 $ 5x^{2}-2 = -3x $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (A)
A. $ 5,3,-2 $
B. $ 5,-3,-2 $
C. $ 5,3,2 $
D. $ 5,-3,2 $

答案： A

4. 将一元二次方程 $ x(x + 2) = 5x - 3 $ 化为一般形式, 正确的是 (D)
A. $ -3x + x^{2}+3 = 0 $
B. $ x^{2}+5x - 3 = 0 $
C. $ x^{2}+3x - 3 = 0 $
D. $ x^{2}-3x + 3 = 0 $

答案： D

5. 方程 $ x(x - 5) = x - 5 $ 的根是 (D)
A. $ x = 5 $
B. $ x = 0 $
C. $ x_{1} = 5,x_{2} = 0 $
D. $ x_{1} = 5,x_{2} = 1 $

答案： D

6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax - 7 = 0 $ 的一个根是 $ 4 $, 求 $ a $ 的值.

答案： 解：把 $ x = 4 $ 代入方程 $ x ^ { 2 } + a x - 7 = 0 $，
得 $ 16 + 4 a - 7 = 0 $，
解得 $ a = - \frac { 9 } { 4 } $。

7. 若 $ (m + 2)x^{|m|}+mx - 1 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程, 则B
A. $ m = \pm 2 $
B. $ m = 2 $
C. $ m = -2 $
D. $ m \neq \pm 2 $

答案： B

8. 若 $ a $ 是方程 $ 2x^{2} = x + 4 $ 的一个根, 则代数式 $ 4a^{2}-2a $ 的值是8.

答案： 8

9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (k + 1)x^{|k|+1}+2x - 1 = 0 $.
(1) 若该方程是一元二次方程, 求 $ k $ 的值;
(2) 若该方程是一元一次方程, 求 $ k $ 的值.

答案： 解：
(1) $ \because $ 该方程是一元二次方程，
$ \therefore | k | + 1 = 2 $，且 $ k + 1 \neq 0 $，解得 $ k = 1 $；
(2) $ \because $ 该方程是一元一次方程，
$ \therefore $ 分两种情况：①当 $ k + 1 = 0 $，即 $ k = - 1 $ 时，
原方程可化为 $ 2 x - 1 = 0 $，是一元一次方程。
②当 $ k + 1 \neq 0 $，且 $ | k | + 1 = 1 $，即 $ k = 0 $ 时，
原方程可化为 $ x + 2 x - 1 = 0 $，是一元一次方程。
综上所述，$ k $ 的值为 $ - 1 $ 或 $ 0 $。

10. 设 $ a $ 是方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的一个实数根, 求 $ \frac{2025a}{a^{2}+a + 1} $ 的值.

答案： 解：$ a $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $ 的一个实数根，将 $ a $ 代入得 $ a ^ { 2 } - 3 a + 1 = 0 $，
$ \therefore a ^ { 2 } = 3 a - 1 $，
$ \therefore \frac { 2025 a } { a ^ { 2 } + a + 1 } = \frac { 2025 a } { 3 a - 1 + a + 1 } = \frac { 2025 a } { 4 a } = \frac { 2025 } { 4 } $。