《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,在∠ABC中，∠ACB=90°,点 D在AB上,△ADC∽△CDB.
(1) 试判断 $ CD $ 与 $ AB $ 的位置关系,并说明理由；
垂直.理由如下：
∵ △ADC ∽ △CDB，∴ ∠A = ∠BCD.
∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°.
∴ ∠B + ∠BCD = 90°.
∴ ∠CDB = 180° - 90° = 90°，
即 CD ⊥ AB.
(2) 若 $ AD = 4 \text{ cm} $,$ BD = 9 \text{ cm} $,求 $ CD $ 的长.
6 cm.
∵ △ADC ∽ △CDB，
∴$ \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}，$
∴ CD² = AD · BD = 4×9 = 36，
∴ CD = 6 cm.

答案： 5.解：
(1)垂直.理由如下：
∵ △ADC ∽ △CDB，
∴ ∠A = ∠BCD.
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°.
∴ ∠B + ∠BCD = 90°.
∴ ∠CDB = 180° - 90° = 90°，
即 CD ⊥ AB.
(2)
∵ △ADC ∽ △CDB，
∴$ \frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}，$
∴ CD² = AD · BD = 4×9 = 36，
∴ CD = 6 cm.

6. 如图,点 $ C $,$ D $ 在线段 $ AB $ 上,$ \triangle PCD $ 是等边三角形,且 $ \triangle ACP \backsim \triangle PDB $.
(1) 求 $ \angle APB $ 的大小；120°
(2) 求线段 $ AC $,$ CD $,$ BD $ 之间的数量关系并说明理由.CD² = AC · BD

答案： 6.解：
(1)
∵ △PCD 是等边三角形，
∴ ∠DCP = 60°，
∴ ∠A + ∠APC = 60°.
∵ △ACP ∽ △PDB，
∴ ∠APC = ∠B，
∴ ∠A + ∠B = 60°，
∴ ∠APB = 120°；
(2)CD² = AC · BD.理由如下：
∵ △ACP ∽ △PDB，
∴$ \frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}.$
∵ △PCD 是等边三角形，
∴ PC = PD = CD.
∴ CD² = AC · BD.