《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 4,AC= 3,将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC',若点C'在AB上,则AA'的长为(A)

A.√10
B.4
C.2√5
D.5

答案： A

2. 如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后,得到矩形AB'C'D',如果CD= 2DA= 2,那么CC'= √10.

答案： √10

3. 如图,将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°,得到△AB'C',连接BB',若AC'//BB',则∠CAB'的大小为(A)

A.75°
B.70°
C.65°
D.60°

答案： A

4. 如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到$AB_1C_1D_1$的位置,则阴影部分的面积是____.

答案：
2 - 2√3/3　　解析:如图，连接AE.

根据题意可知AB₁=AD=1,∠B₁=∠D=90°,∠BAB₁=30°,
在Rt△AB₁E和Rt△ADE中,
{AE = AE,AB₁ = AD},
∴Rt△AB₁E≌Rt△ADE(HL),
∵∠B₁AE=∠DAE=1/2∠B₁AD=30°,
∴DE/AD=1/√3，解得DE=√3/3,
∴S四边形ADEB₁=2S△ADE=2×1/2×AD×DE=√3/3,
∴S阴影部分=2(S正方形ABCD - S四边形ADEB₁)=2×(1 - √3/3)=2 - 2√3/3.

5. 如图,在正方形ABCD中,线段CD绕点C逆时针旋转到CE处,旋转角为α(0°＜α＜90°),点F在直线DE上,且AD= AF,连接BF.
(1) 求∠BAF的大小(用含α的式子表示)；
(2) 求证：EF= √2BF.

答案：

(1)解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°,
由题意得CD=CE,∠DCE=α,
∴∠CDE=∠CED=1/2(180° - α)=90° - 1/2α.
∴∠ADF=90° - ∠CDE=90° - (90° - 1/2α)=1/2α,
∵AD=AF,
∴∠ADF=∠AFD=1/2α,
∴∠FAD=180° - ∠ADF - ∠AFD=180° - α,
∴∠BAF=∠FAD - ∠BAD=180° - α - 90°=90° - α;
(2)证明:如图 ，连接BE,
∵∠DCE=α
∴∠BCE = 90° - α = ∠BAF,
∵CD=CE=AD=AF=BC,
∴△BCE≌△BAF(SAS),
∴BF=BE,∠ABF=∠CBE.
∵∠ABC=90°,
∴∠EBF=90°
∴△EBF是等腰直角三角形,
∴根据勾股定理可得EF=√2BF.

6. (核心素养)如图,在△ABC中,AB= AC= 1,∠BAC= 45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.
(1) 求证：BE= CF；
(2) 当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
(1)证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,
∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC.
在△FAC与△EAB中,{AC = AB,∠EAB = ∠FAC,AF = AE},
∴△FAC≌△EAB(SAS).
∴BE=CF;
(2)解:∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,
∴DE=AE=AC=AB=1,AC//DE,
∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=√(AE²+AB²)=√2
∴BD=BE - DE=√2 - 1.

答案：
(1)证明:
∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,
∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC.
在△FAC与△EAB中,{AC = AB,∠EAB = ∠FAC,AF = AE},
∴△FAC≌△EAB(SAS).
∴BE=CF;
(2)解:
∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,
∴DE=AE=AC=AB=1,AC//DE,
∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=√(AE²+AB²)=√2
∴BD=BE - DE=√2 - 1.