《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题2】如图,在⊙O中,C,D分别是半径OA,OB的中点,求证：AD= BC.

证明：∵OA，OB为⊙O的半径，
∴OA = OB．
∵C，D为OA，OB的中点，
∴OC = OD．
在△AOD与△BOC中，
{ OA = OB,
∠AOD = ∠BOC,
OD = OC,
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴AD = BC．

答案： 证明：$\because OA$，$OB$为$\odot O$的半径，
$\therefore OA = OB$．
$\because C$，$D$为$OA$，$OB$的中点，
$\therefore OC = OD$．
在$\triangle AOD$与$\triangle BOC$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { O A = O B , } \\ { \angle A O D = \angle B O C , } \\ { O D = O C , } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle A O D \cong \triangle B O C ( \mathrm { SAS } )$，
$\therefore AD = BC$．

【变式2】如图,OA,OB是⊙O的两条半径,∠AOB= 90°,AO= 4,则∠A= 45°,AB= 4√2.

答案： $45 ^ { \circ }$ $4 \sqrt { 2 }$

【例题3】(人教九上P81教材改编)如图,△ABC和△ABD都是直角三角形,且∠C= ∠D= 90°,点O是AB的中点. 求证：A,B,C,D四点在同一个圆上,并且圆心为点O.

答案：
证明：如图，连接$OD$，$OC$．

$\because \triangle ADB$和$\triangle ACB$为直角三角形，点$O$是$AB$的中点，
$\therefore OD = \frac { 1 } { 2 } AB = AO = BO$，$OC = \frac { 1 } { 2 } AB = AO = BO$，
即$OC = OD = OA = OB$．
$\therefore$点$A$，$B$，$C$，$D$在同一个圆上，并且圆心为点$O$．

【变式3】(人教九上P81教材改编)如图,△ABC和△ABD都是直角三角形,且∠C= ∠D= 90°. 求证：A,B,C,D四点在同一个圆上.

答案：
证明：如图，取$AB$的中点$O$，连接$OC$，$OD$，

$\because \triangle ABC$和$\triangle ABD$都是直角三角形，
且$\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore DO$，$CO$分别为$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ABC$斜边上的中线，
$\therefore OA = OB = OC = OD$，
$\therefore A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上．

1.如图,MN为⊙O的弦,下列说法正确的是(D)

A.△OMN是等边三角形
B.OM= MN
C.当∠M= 50°时,∠MON= 50°
D.$\overset{\frown}{MN}$比弦MN长

答案： D

2.下列说法错误的是(C)
A.到定点等于定长的所有点的集合是圆
B.矩形的四个顶点共圆
C.过圆心的线段是直径
D.若⊙O的半径为3 cm,则⊙O中最长的弦长为6 cm

答案： C

3.如图,⊙O的弦AB与半径OC的延长线交于点D,BD= OA,若∠AOD= 120°,则∠D= ____20°.

答案： $20^{\circ}$

4.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= 10. 若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC= $5 \sqrt { 3 }$.

答案： $5 \sqrt { 3 }$

5.(2024·金华模拟)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB= 2DE,∠AEC= 20°,求∠AOC的度数.

答案：
解：如图，连接$OD$，

$\because AB = 2DE$，而$AB = 2OD$，
$\therefore OD = DE$，$\therefore \angle DOE = \angle E = 20^{\circ}$，
$\therefore \angle CDO = \angle DOE + \angle E = 40^{\circ}$，
而$OC = OD$，$\therefore \angle C = \angle ODC = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC = \angle C + \angle E = 60^{\circ}$．

6.如图,AB,CD为⊙O的两条直径,求证：四边形ACBD为矩形.
证明：∵AB，CD为⊙O的直径，∴OA = OB = OC = OD，AB = CD．∴四边形ACBD为矩形．

答案： 证明：$\because AB$，$CD$为$\odot O$的直径，
$\therefore OA = OB = OC = OD$，$AB = CD$．
$\therefore$四边形$ACBD$为矩形．