《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,根据条件求∠A.

(1)∠A= 110°; (2)∠A= 100°; (3)∠A= 90°

答案：
(1)$110^{\circ}$
(2)$100^{\circ}$
(3)$90^{\circ}$

2. 如图,点A,B,C,D都在$\odot O$上,则:

(1)四边形ABCD叫$\odot O$的内接四边形;
(2)$\odot O$叫四边形ABCD的外接圆.

答案：
(1)内接四边形
(2)外接圆

二、新课学习
推论2:
(1)半圆(或直径)所对的圆周角为直角.
几何语言:如图1,
∵BC 为⊙O 的直径,
∴∠BAC = 90°.
(2)90°的圆周角所对的弦是直径.
几何语言:如图1,
∵∠BAC = 90°且点 A 在⊙O 上,
∴BC 为⊙O 的直径.
推论3:
圆内接四边形的对角互补.
几何语言:如图2,
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.

答案： 直角 BC 为⊙O 的直径 ∠BAC = 90°
直径 ∠BAC = 90°且点 A 在⊙O 上 BC 为⊙O 的直径 对角互补
四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形
∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°

【例题1】如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D= 67°,求∠ABC.

答案： 解：由圆周角定理，
得∠A = ∠D = 67°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°．
∴∠ABC = 90° - 67° = 23°．

【变式1】如图,AB是⊙O的直径,⊙O的半径为5 cm,弦AC的长为6 cm,求弦BC的长.

解：∵⊙O 的半径为 5 cm，
AB 是⊙O 的直径，
∴AB = 10 cm，∠ACB = 90°．
由勾股定理，得 BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = $8cm．
∴弦 BC 的长为8cm．

答案： 解：
∵⊙O 的半径为 5 cm，
AB 是⊙O 的直径，
∴AB = 10 cm，∠ACB = 90°．
由勾股定理，得 BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = 8$ cm．
∴弦 BC 的长为 8 cm．

【例题2】如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠D= 100°,则∠AOC的度数为(D)

A.80°
B.140°
C.150°
D.160°

答案： D

【变式2】(人教九上P88教材改编)如图,点A,B,C,D在⊙O上,若∠B= α°,则(D)

A.∠A= α°
B.∠C= α°
C.∠1= α°
D.∠2= α°

答案： D

【例题3】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB= ∠CDB.

(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，∴AB=BC，
又∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)若AB=√2,AD=1,求CD的长度.
CD的长为√3．

答案： 解：
(1)△ABC 是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC = ∠ABC = 90°，
∵∠ADB = ∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB = BC，
又
∵∠ABC = 90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形；
(2)在 Rt△ABC 中，AB = BC = $\sqrt{2}$，
∴AC = 2，
在 Rt△ADC 中，AD = 1，AC = 2，
∴CD = $\sqrt{3}$
即 CD 的长为$\sqrt{3}$．

【变式3】如图,AB是⊙O的直径,D是弦AC的延长线上一点,且CD= AC,DB的延长线交⊙O于点E.(1)求证:CD= CE;(2)连接AE,若∠D= 25°,求∠BAE的度数.

答案：

(1)证明：如图，连接 BC．

∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°，即 BC⊥AD．
又
∵CD = AC，
∴AB = BD，
∴∠BAD = ∠D．
∵∠CEB = ∠BAD，
∴∠CEB = ∠D，
∴CD = CE；
(2)解：
∵∠D = 25°，∠BAD = ∠D，
∴∠ABE = ∠BAD + ∠D = 50°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB = 90°，
∴∠BAE = 90° - 50° = 40°．

1.如图,⊙O的直径AB= 4,∠B= 30°,则∠C的度数为90°,AC的长为2.

答案： 90° 2

2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠C= 100°,那么∠A是(D)

A.60°
B.50°
C.100°
D.80°

答案： D

3.(2025·揭阳一模)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两个点,CD交AB于点E,已知BE= BD,∠BCD= 42°,则∠BDC= (B)

A.72°
B.66°
C.64°
D.68°

答案： B

4.(分类讨论)已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径,则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°.

答案： 30°或 150° 解析：由题意，得弦 AB 所对的圆心角是 60°．①当圆周角的顶点在优弧 AB 上时，则$\frac{1}{2}$×60° = 30°；②当圆周角的顶点在劣弧 AB 上时，圆周角的度数为 150°．

5.如图，四边形ABCD内接于O0, ∠BAD=90°，

BC=CD.过点C作CE，使得CE=CD,交AD

的延长线于点E.

(1)求证:AB= AE;
(2)若AD= DE= 2,求CD的长.

答案：

(1)证明：如图，连接 AC．

∵BC = CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$．
∴∠BAC = ∠EAC．
∵CD = CE，
∴∠E = ∠CDE，BC = CE．
∵∠ABC + ∠ADC = 180°，∠CDE + ∠ADC = 180°，
∴∠ABC = ∠CDE．
∴∠ABC = ∠E．
在△ABC 和△AEC 中，
$\begin{cases}∠ABC = ∠E, \\∠BAC = ∠EAC, \\AC = AC,\end{cases}$
∴△ABC ≌ △AEC(AAS)．
∴AB = AE．
(2)解：如答图，连接 BD．
∵∠BAD = 90°，
∴BD 是⊙O 的直径．
∴∠BCD = 90°．
∵AB = AE，AD = DE = 2，
∴AB = AE = 4．
在 Rt△ABD 中，BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 2\sqrt{5}$，
在 Rt△BCD 中，CD = BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BD = $\sqrt{10}$．

6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,且CD是⊙O的直径,AB//CD.

(1)求证:AD= BC;
(2)若∠D= 75°,CD= 4,求四边形ABCD的面积.

答案：

(1)证明：
∵四边形 ABCD 内接⊙O，
∴∠A + ∠C = 180°，
∵AB // CD，
∴∠A + ∠D = 180°，
∴∠C = ∠D，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，AD = BC；
(2)解：如图，连接 AO，BO．

∵∠D = 75°，则∠OAD = 75°，
∴∠DOA = 30°．
∵AD = BC，AB // CD，
∴∠BCD = 75°，∠COB = 30°．
作 OE⊥AB，垂足为 E．
∵∠COB = 30°，AB // CD，
∴∠EBO = 30°．
∵BO = 2，则 EO = 1．
∵EO⊥AB，
∴BE = AE = $\sqrt{2^{2}-1^{2}} = \sqrt{3}$
∴AB = $2\sqrt{3}$，
S四边形ABCD = $\frac{1}{2}$×(AB + CD)×EO = $\frac{1}{2}$×($2\sqrt{3}$ + 4)×1 = $2+\sqrt{3}$