《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (跨学科)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点$ A $,$ B $,$ C $都在横线上. 若线段$ A B = 3 $,则线段$ B C $的长是(C)

A.$ \frac { 2 } { 3 } $
B.1
C.$ \frac { 3 } { 2 } $
D.2

答案： C

2. (人教九下P42教材改编)如图,$ D E // B C $,$ E F // A B $,则图中相似三角形一共有(C)

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

答案： C

3. 如图,已知$ A B // C D // E F $,它们依次交直线$ l _ { 1 } $,$ l _ { 2 } 于点 A $,$ D $,$ F 和点 B $,$ C $,$ E $,如果$ A D : D F = 3 : 1 $,$ B E = 24 $,那么$ C E $等于(C)

A.9
B.4
C.6
D.3

答案： C

4. 如图,在矩形$ A B C D $中,$ E 为边 A D $的中点,$ B D 和 C E 相交于点 F $,若$ D F = 6 $,则$ B D = $____18.

答案： 18

5. 如图,在$ □ A B C D $中,$ E F // A B $,$ D E : E A = 2 : 3 $.

(1) 若$ E F = 4 $,求$ C D $的长；
(2) 若$ D B = 10 $,则$ D F = $____4.

答案： 解：
(1)
∵$DE:EA=2:3$，
∴$DE:DA=2:5$。
∵$EF// AB$，
∴$\triangle DEF\backsim\triangle DAB$，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{EF}{AB}$。
∵$EF=4$，
∴$\frac{2}{5}=\frac{4}{AB}$，
∴$AB=10$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD=AB=10$。
(2)4

6. 如图,$ A B 为半圆 O $的直径,点$ C 为 B A $延长线上一点,$ C D 切半圆 O 于点 D $,连接$ O D $,作$ B E \perp C D 于点 E $,交半圆$ O 于点 F $. 已知$ C E = 12 $,$ B E = 9 $.
(1) 求证：$ \triangle C O D \backsim \triangle C B E $；
证明：∵CD切半圆O于点D，
∴$CD\perp OD$，∴$\angle CDO=90^{\circ}$。
∵$BE\perp CD$，
∴$\angle E=90^{\circ}=\angle CDO$，∴$OD// BE$，
∴$\triangle COD\backsim\triangle CBE$；
(2) 求半圆$ O 的半径 r $的长.
解：在$Rt\triangle BEC$中，$CE=12$，$BE=9$，$BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=15$。
∵$\triangle COD\backsim\triangle CBE$，
∴$\frac{OD}{BE}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得$r=$$\frac{45}{8}$。

答案：
(1)证明：
∵CD切半圆O于点D，
∴$CD\perp OD$，
∴$\angle CDO=90^{\circ}$。
∵$BE\perp CD$，
∴$\angle E=90^{\circ}=\angle CDO$，
∴$OD// BE$，
∴$\triangle COD\backsim\triangle CBE$；
(2)解：在$Rt\triangle BEC$中，$CE=12$，$BE=9$，$BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=15$。
∵$\triangle COD\backsim\triangle CBE$，
∴$\frac{OD}{BE}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得$r=\frac{45}{8}$。