《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 顶点在圆心的角叫做圆心角;顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
B. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
几何语言:如图1,∵∠AOB和∠ACB所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$,∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB.
C. 圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
几何语言:如图2,∵$\overgroup{AB}= \overgroup{AB}$,∴∠ACB= ∠ADB

答案： 圆心　圆上　　相交　一半　　∠AOB和∠ACB所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$　∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB　相等　ACB　ADB

【例题1]下列各圆中，是圆周角的是（C）

答案： C

【变式1】如图,在$\odot O$标出的∠1,∠2,∠3,∠4四个角中,圆周角有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

【例题2】如图,在$\odot O$中,∠AOB= 90°,C是优弧AB上的一点,则∠ACB的度数为(B)

A.35°
B.45°
C.50°
D.60°

答案： B

【变式2】如图,在$\odot O$中,OA⊥BC,∠ADB= 35°,则∠BCO= (A)

A.20°
B.35°
C.40°
D.60°

答案： A

【例题3】如图,在$\odot O$中,两弦AB,CD相交于点E,且AB⊥CD,连接AC,BD,若∠B= 60°,求∠A的度数.

解：∵AB⊥CD，
　　∴∠DEB=90°，
　　∵∠B=60°，
　　∴∠D=180°−∠DEB−∠B=30°。
　　∵$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$，
　　∴∠A=∠D=30°。

答案： 解：
∵AB⊥CD，
　
∴∠DEB=90°，
　
∵∠B=60°，
　
∴∠D=180°−∠DEB−∠B=30°。
　
∵$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$，
　
∴∠A=∠D=30°。

【变式3】如图,在$\odot O$中,直径MN⊥AB.求证:∠1= ∠2= ∠3= ∠4.

证明：∵MN⊥AB，
　　∴$\overset{\frown}{AM}$=$\overset{\frown}{BM}$。
　　∵∠1与∠3对应$\overset{\frown}{BM}$，∴∠1=∠3。
　　∵∠2与∠4对应$\overset{\frown}{AM}$，∴∠2=∠4。
　　又∵$\overset{\frown}{AM}$=$\overset{\frown}{BM}$，
　　∴∠1=∠2=∠3=∠4。

答案： 证明：
∵MN⊥AB，
　
∴$\overset{\frown}{AM}$=$\overset{\frown}{BM}$。
　
∵∠1与∠3对应$\overset{\frown}{BM}$，
∴∠1=∠3。
　
∵∠2与∠4对应$\overset{\frown}{AM}$，
∴∠2=∠4。
　　又
∵$\overset{\frown}{AM}$=$\overset{\frown}{BM}$，
　
∴∠1=∠2=∠3=∠4。

【例题4】如图,在$\odot O$中,半径OC⊥弦AB于点D,点E在$\odot O$上,∠E= 22.5°,AB= 4,求半径OB.
解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
　　∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BC}$，
　　∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BOC=22.5°，
　　∴∠BOD=45°，
　　∴△ODB是等腰直角三角形，
　　∴OB=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{2}$。

答案： 解：
∵半径OC⊥弦AB于点D，
　
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BC}$，
　
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BOC=22.5°，
　
∴∠BOD=45°，
　
∴△ODB是等腰直角三角形，
　
∴OB=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{2}$。

【变式4】如图,A,P,B,C是$\odot O$上的四个点,且∠APC= ∠CPB= 60°.判定△ABC的形状,并证明你的结论.

解：△ABC是等边三角形。证明如下：由圆周角定理，得∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，
　　∴∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=60°。
　　∴△ABC是等边三角形。

答案： 解：△ABC是等边三角形。证明如下：由圆周角定理，得∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，
　
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=60°。
　
∴△ABC是等边三角形。

1. 如图,在$\odot O$中,∠BAC= 70°,则∠BOC= ____140°.

答案： 140°

2. (人教九上P88教材改编)如图,点A,B,C为$\odot O$上的三个点,若∠BOC= 2∠AOB,∠BAC= 40°,则∠ACB= 20°.

答案： 20°

3. 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

答案： 4

4. 如图,已知正方形ABCD的四个顶点都在$\odot O$上,E是$\odot O$上任意一点,则∠BEC的度数为45°.

答案： 45°

5. 如图,AB是$\odot O$的直径,C,D,E都是$\odot O$上的点.
(1)当E为半圆$\overgroup{AB}$的中点时,求∠1+∠2的度数;
(2)当E不是半圆$\overgroup{AB}$的中点时,(1)中结论成立吗? 为什么?

答案：
解：
(1)如图，连接OE。
　　　　　　
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠2=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠AOE+$\frac{1}{2}$∠BOE=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOE)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠1+∠2=90°；
(2)成立。理由如下：
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠2=$\frac{1}{2}$∠BOE，
　当E不是半圆中点时，∠AOE+∠BOE=∠AOB=180°仍成立，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°。