《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.对于抛物线y=（x-1)²-3,下列说法错误的是(D)
A.抛物线开口向上
B.抛物线与x轴必有两个交点
C.当x=1时,y有最小值−3
D.当x＞x2＞1时,y2＞y

答案： 1. D

2.已知点A（-3,a),B（-1,b),C（5,c)均在抛物线y=−2(x+1)²+3上,则a,b,c的大小关系为(C)
A.a＜c＜b
B.b＜a＜c
C.c＜a＜b
D.a＜b＜c

答案： 2. C

3.关于x的二次函数y=(x−h)²+3,当1≤x≤3|时,函数有最小值4,则h的值为(C)
A.0或2 B.2或4
C.0或4 D.0或2或

答案： 3. C 解析:
∵ 二次函数图象的对称轴为直线 $ x = h $,
∴ 分为 3 种情况:①当 $ h ＜ 1 $ 时,当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,
∴ 当 $ x = 1 $ 时 $ y $ 取最小值,即 $ (1 - h)^2 + 3 = 4 $,解得 $ h_1 = 0 $,$ h_2 = 2 $.由 $ h ＜ 1 $ 得 $ h = 0 $;②当 $ 1 \leq h \leq 3 $ 时,$ y $ 的最小值为顶点值,
∵ $ 3 \neq 4 $,
∴ $ 1 \leq h \leq 3 $ 时,$ h $ 无解;③当 $ h ＞ 3 $ 时,当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,
∴ 当 $ x = 3 $ 时取最小值,即: $ (3 - h)^2 + 3 = 4 $,解得 $ h_1 = 2 $,$ h_2 = 4 $,
∵ $ h ＞ 3 $,
∴ $ h = 4 $.综上所述,$ h = 0 $ 或 4,故选 C.

4.将抛物线y=x²+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线(C)
A.y=(x+3)²−1 B.y=(x+3)²+3
C.y=(x−3)²−1 D.y=(x−3)²+3

答案： 4. C

5.(2024.广州期中)已知抛物线y=x²−2x+c与x轴交于A,B两点,A在B左侧.
(1)若一元二次方程x²−2x+c=0的一个解是−1,求出A,B两点的坐标;A(-1, 0),B(3, 0);
(2)若抛物线的顶点在直线y=−2x上,求此抛物线的解析式.此抛物线的解析式为y = x² - 2x - 1.

答案： 5. 解:
(1)把 $ x = -1 $ 代入方程 $ x^2 - 2x + c = 0 $ 得 $ 1 + 2 + c = 0 $,解得 $ c = -3 $,
∴ 抛物线解析式为 $ y = x^2 - 2x - 3 $,当 $ y = 0 $ 时,$ x^2 - 2x - 3 = 0 $,解得 $ x_1 = -1 $,$ x_2 = 3 $,
∴ $ A(-1, 0) $,$ B(3, 0) $;
(2)
∵ $ y = x^2 - 2x + c = (x - 1)^2 + c - 1 $,
∴ 抛物线的顶点坐标为 $ (1, c - 1) $,
∵ 抛物线的顶点在直线 $ y = -2x $ 上,
∴ $ c - 1 = -2 $,解得 $ c = -1 $,
∴ 抛物线解析式为 $ y = x^2 - 2x - 1 $.

6.如图,已知抛物线y=−(x−1)²+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,则点P的坐标为______(1, 2)

答案： 6. $ (1, 2) $ 解析:由题知点 $ A(-1, 0) $,$ B(3, 0) $,$ C(0, 3) $.
∵ $ A $,$ B $ 两点关于直线 $ l $ 对称,
∴ $ PA + PC $ 最小,相当于 $ PC + PB $ 最小.连接 $ CB $,直线 $ BC $ 与直线 $ l $ 的交点为 $ P $,设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = kx + b $,将点 $ B(3, 0) $,$ C(0, 3) $ 分别代入,得 $ \begin{cases} k = -1 \\ b = 3 \end{cases} $,
∴ 直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = -x + 3 $,由于抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $,
∴ 当 $ x = 1 $ 时,$ y = -1 + 3 = 2 $,
∴ 当 $ PA + PC $ 的值最小时,点 $ P $ 的坐标为 $ (1, 2) $.