《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题2】如图,我市准备在相距 10 千米的 $ M $, $ N $ 两工厂间修一条笔直的公路,但在 $ M $ 地北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向、 $ N $ 地北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向的 $ P $ 处,有一个半径为 3 千米的住宅小区,问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁?(参考数据: $ \sqrt{2} \approx 1.41 $, $ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

答案：
解:由题意$\angle AMP = 45^{\circ}$，$\angle BNP = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle PMN = 45^{\circ}$，$\angle PNM = 30^{\circ}$。
如图，过点P作$PH\perp MN$于点H，设$PH = x$。
　　　　　
在$Rt\triangle MHP$中，$\angle PMN = 45^{\circ}$，
$\therefore MH=\frac{PH}{\tan45^{\circ}}=x$。
在$Rt\triangle NPH$中，$\angle PNM = 30^{\circ}$，
$\therefore NH=\frac{PH}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$。
$\because MH + NH = MN$，即$x+\sqrt{3}x = 10$，
解得$x = 5\sqrt{3}-5$，
$\therefore PH = 5\sqrt{3}-5\approx3.65$(千米)。
$\because3.65＞3$，
$\therefore$修筑公路时，不需要搬迁。

【变式2】如图,一段河流自西向东,河岸笔直,且两岸平行.为测量其宽度,小明在南岸边 $ B $ 处测得对岸边 $ A $ 处一棵大树位于北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向,他以 $ 1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $ 的速度沿着河岸向东步行 $ 40 \mathrm{~s} $ 后到达 $ C $ 处,此时测得大树位于北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向,试计算此段河面的宽度.(结果保留整数,参考数据: $ \sqrt{3} \approx 1.732 $)

答案：
解:如图，过点A作$AD\perp BC$于点D。
　　　
由题意，得$BC = 1.5×40 = 60$(m)，
$\angle ABD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
$\angle ACD = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
$\therefore\angle CAD = 90^{\circ}-\angle ACD = 45^{\circ}$。
$\because\angle CAD=\angle ACD = 45^{\circ}$，$\therefore CD = AD$。
设$AD = x$，则$CD = x$，$BD = x + 60$。
$\because$在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle ABD=\frac{AD}{BD}$，$\therefore BD=\frac{AD}{\tan\angle ABD}=\sqrt{3}x$，
$\because BC + CD = BD$，$\therefore60 + x=\sqrt{3}x$，
解得$x = 30\sqrt{3}+30$。
$\therefore AD = 30\sqrt{3}+30\approx82$(m)。
答:此段河面的宽度约为82m。

1. (人教九下 P76)如图,一艘海轮位于灯塔 $ P $ 的北偏东 $ 65^{\circ} $ 方向,在距离灯塔 80 海里的 $ A $ 处上,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 $ P $ 的南偏东 $ 34^{\circ} $ 方向上的 $ B $ 处.这时, $ B $ 处距离灯塔 $ P $ 有多远(结果取整数)?(参考数据: $ \cos 25^{\circ} \approx 0.91 $, $ \sin 25^{\circ} \approx 0.42 $, $ \tan 25^{\circ} \approx 0.47 $, $ \sin 34^{\circ} \approx 0.56 $, $ \cos 34^{\circ} \approx 0.83 $, $ \tan 34^{\circ} \approx 0.67 $)

解:在$Rt\triangle APC$中，$PC = PA×\cos(90^{\circ}-65^{\circ})=80×\cos25^{\circ}=$72.8(海里)。
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle B = 34^{\circ}$，
$\because\sin B=\frac{PC}{PB}$，
$\therefore PB=\frac{72.8}{\sin34^{\circ}}\approx$130(海里)，
答:当海轮到达于灯塔P的南偏东$34^{\circ}$方向时，它距离灯塔P大约130海里。

答案： 解:在$Rt\triangle APC$中，$PC = PA×\cos(90^{\circ}-65^{\circ})=80×\cos25^{\circ}=72.8$(海里)。
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle B = 34^{\circ}$，
$\because\sin B=\frac{PC}{PB}$，
$\therefore PB=\frac{72.8}{\sin34^{\circ}}\approx130$(海里)，
答:当海轮到达于灯塔P的南偏东$34^{\circ}$方向时，它距离灯塔P大约130海里。

2. 为了丰富学生的文化生活,学校利用假期组织学生到素质教育基地 $ A $ 和科技智能馆 $ B $ 参观学习,学生从学校出发,走到 $ C $ 处时,发现 $ A $ 位于 $ C $ 的北偏西 $ 25^{\circ} $ 方向上, $ B $ 位于 $ C $ 的北偏西 $ 55^{\circ} $ 方向上,老师将学生分成甲、乙两组,甲组前往 $ A $ 地,乙组前往 $ B $ 地,已知 $ B $ 在 $ A $ 的南偏西 $ 20^{\circ} $ 方向上,且相距 1000 米,请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程.(参考数据: $ \sqrt{2} \approx 1.41 $, $ \sqrt{6} \approx 2.45 $)

答案：
解:如图，过点B作$BD\perp AC$于点D。
　　　　　
根据题意，得$\angle BAS = 20^{\circ}$，$\angle ACN = 25^{\circ}$，$\angle BCN = 55^{\circ}$，
$\therefore\angle BCA=\angle BCN-\angle ACN = 30^{\circ}$，
$\angle SAD=\angle ACN = 25^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BAS+\angle SAD = 45^{\circ}$，
$\because BD\perp AC$，$\therefore\angle BDA = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD=\angle BAD = 45^{\circ}$，
$\because AB = 1000$米，$\cos45^{\circ}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore BD = AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB = 500\sqrt{2}$(米)。
$\because$在$Rt\triangle BDC$中，$\angle BCD = 30^{\circ}$，
$\therefore BC = 2BD = 1000\sqrt{2}$(米)。
$\because\cos\angle BCD=\frac{CD}{BC}$，
$\therefore CD = BC\cdot\cos\angle BCD = 500\sqrt{6}$(米)。
$\therefore AC = AD + CD=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})$米。
$\therefore AC - BC = 500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx520$(米)。
答:甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程。