《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 形如$y = kx + b(k \neq 0,k,b$是常数)的函数,叫做一次函数. 当$b = 0$时,一次函数$y = kx(k \neq 0)$叫正比例函数.
B. 形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0,a,b,c$为常数)的函数,叫做二次函数. 其中,$x$是自变量,$y是x$的函数.
易错点(忽视条件$a \neq 0$)
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$,下列说法正确的是(D)
A. 当$a = 0$时,是二次函数
B. 当$a = 0$时,是一次函数
C. 若是二次函数,则$a ＞ 0$
D. 当$a \neq 0$时,是二次函数

答案： 一次函数 二次函数
易错点 D

【例题1】下列是二次函数的是(D)
A.$y = x + 2$
B.$x^{3} + x^{2} + 1$
C.$y = (x + 1)^{2} - x^{2}$
D.$y = -x^{2} + 2x - 3$

答案： D

【变式1】下列函数中,不是二次函数的是(B)
A.$y = x^{2} - 4x + 1$
B.$y = x^{2} + \frac{1}{x}$
C.$y = 2x^{2} + 4x$
D.$y = (-x + 2)(x - 3)$

答案： B

【例题2】填空:
(1) 若$y = x^{k} - 2x + 3$是二次函数,则$k = $2;
(2) 若$y = (k - 1)x^{2} - 2x + 1$是二次函数,则$k$的取值范围是$k≠1$.

答案：
(1)2
(2)$k≠1$

【变式2】填空:
(1) (2024·云浮期中)若$y = (m - 2)x^{|m|} + 3x + 1是关于x$的二次函数,则实数$m$的值为-2.
(2) 若$y = (m^{2} - 2)x^{2} + 8x$是二次函数,则$m$的取值范围是$m≠\pm \sqrt {2}$.

答案：
(1)-2
(2)$m≠\pm \sqrt {2}$

【例题3】求下列函数中自变量$x$的取值范围.
(1) $y = \frac{x + 1}{x}$:$x≠0$;
(2) $y = \sqrt{x - 5}$:$x≥5$;
(3) $y = x^{2} + 2x - 3$:任意实数.

答案：
(1)$x≠0$
(2)$x≥5$
(3)任意实数

【变式3】写出下列函数中自变量$x$的取值范围.
(1) $y = \frac{x + 1}{x - 2}$:$x≠2$;
(2) $y = x(x - 1)$:任意实数;
(3) $y = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$:$x＞-2$.

答案：
(1)$x≠2$
(2)任意实数
(3)$x＞-2$

【例题4】(人教九上P21教材改编)一个直角三角形的两直角边的和为$20\ \text{cm}$,设一直角边长为$x\ \text{cm}$,面积为$y\ \text{cm}^{2}$.
(1) $y与x$之间的函数解析式是$y=-\frac {1}{2}x^{2}+10x$;
(2) 自变量$x$的取值范围是$0＜x＜20$;
(3) 当$x = 8$时,求$y$的值.当$x=8$时,$y=-\frac {1}{2}x^{2}+10x=-\frac {1}{2}×8^{2}+10×8=48$。

答案： 解:
(1)$y=-\frac {1}{2}x^{2}+10x$
(2)$0＜x＜20$
(3)当$x=8$时,$y=-\frac {1}{2}x^{2}+10x=-\frac {1}{2}×8^{2}+10×8=48$。

【变式4】如图,用长为$18\ \text{m}$的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃. 设矩形的一边长为$x\ \text{m}$,面积为$y\ \text{m}^{2}$.
(1) $y关于x$的函数解析式为$y=-x^{2}+18x$;
(2) 写出自变量$x$的取值范围(墙足够长)$0＜x＜18$;
(3) 当$y = 81$时,求$x$的值.$x=9$

答案： 解:
(1)$y=-x^{2}+18x$;
(2)自变量x的取值范围为$0＜x＜18$;
(3)当$y=81$时,则$-x^{2}+18x=81$,解得$x_{1}=x_{2}=9$。