《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【变式2】已知抛物线$y = 4x^{2}$,则:
(1)开口向上;
(2)对称轴是$ x = 0 $;
(3)顶点坐标是$ ( 0, 0 ) $;
(4)当$x = $$ 0 $时,$y$有最小值为$ 0 $;
(5)当$x$$ ＞ 0 $时,$y随x$的增大而增大.

答案：
(1)上
(2) $ x = 0 $
(3) $ ( 0, 0 ) $
(4) $ 0 $ 小 $ 0 $
(5) $ ＞ 0 $

【例题3】(2024·汕头期末)若点$(1,y_{1})$,$(2,y_{2})在抛物线y = - x^{2}$上,则$y_{1}$,$y_{2}$的大小关系为:$y_{1}$＞$y_{2}$.(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： $ ＞ $

【变式3】若点$A(- 3,y_{1})$,$B(- 2,y_{2})$都在二次函数$y = ax^{2}(a ＞ 0)$的图象上,则下列结论正确的是(B)
A.$y_{1} ＜ y_{2}$
B.$y_{2} ＜ y_{1}$
C.$y_{1} = y_{2}$
D.不确定

答案： B

1. 若抛物线$y = (m - 1)x^{2}$开口向下,则$m$的取值范围为$ m ＜ 1 $.

答案： $ m ＜ 1 $

2. 下列各点中,在二次函数$y = - x^{2}$的图象上的是(A)
A.$(1,- 1)$
B.$(2,2)$
C.$(- 2,4)$
D.$(2,4)$

答案： A

3. (易错点)在二次函数$y = 2x^{2}$中,当$- 4 \leqslant x ＜ 3$时,$y$的取值范围是$ 0 \leq y \leq 32 $.

答案： $ 0 \leq y \leq 32 $

4. 在同一直角坐标系中,抛物线$y = 3x^{2}$,$y = \dfrac{1}{3}x^{2}$,$y = - \dfrac{1}{3}x^{2}$的共同特点是(D)
A.关于$y$轴对称,抛物线开口向上
B.关于$y$轴对称,$y随x$的增大而增大
C.关于$y$轴对称,$y随x$的增大而减小
D.关于$y$轴对称,抛物线顶点在原点

答案： D

5. (2024·汕头期末)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A(- 2,4)在抛物线y = ax²上,直角边OB在x轴上.
(1)求抛物线的解析式y = x²;
(2)将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,求点P的坐标(√2, 2).

答案： 解：
(1) $ \because $ 将点 $ A ( - 2, 4 ) $ 代入 $ y = a x ^ { 2 } $ 得， $ a × ( - 2 ) ^ { 2 } = 4 $，解得 $ a = 1 $， $ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = x ^ { 2 } $。
(2) $ \because $ 点 $ A $ 坐标为 $ ( - 2, 4 ) $，且 $ A B \perp x $ 轴， $ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ ( - 2, 0 ) $， $ \therefore O B = 2 $。 $ \because $ 由旋转可知， $ O D = O B = 2 $， $ \angle C D O = 90 ^ { \circ } $， $ \therefore C D \perp y $ 轴，则点 $ D $ 的坐标为 $ ( 0, 2 ) $，将 $ y = 2 $ 代入 $ y = x ^ { 2 } $，得 $ x ^ { 2 } = 2 $，解得 $ x = \pm \sqrt { 2 } $，又 $ \because $ 点 $ P $ 在 $ y $ 轴右侧， $ \therefore x = \sqrt { 2 } $， $ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( \sqrt { 2 }, 2 ) $。